数学中的反证法范文

前言：我们精心挑选了数篇优质数学中的反证法文章，供您阅读参考。期待这些文章能为您带来启发，助您在写作的道路上更上一层楼。

第1篇

何 昊

（江苏省南京市第十三中学锁金分校）

摘 要：系统地介绍了理论基础，对反证法的逻辑形式，唯一的负命题，命题，肯定命题三用反证法适用的命题类型进行了详细讨论。

关键词：反证法；否定性；唯一性

在数学的诸多方法中，反证法是一种重要的证明方法，尤其在数学证明中，它是一种间接的证据，被称为“一个最先进的武器”的数学家.反证法经常被用来证明存在性、否定性、唯一性等一些不易直接下手的命题.用反证法证明命题成立的基本步骤可以简单地概括为“否定―推理―反驳―肯定”四个步骤.一个数学问题的解决方案，如果你觉得不足或没有启动的“条件”，不妨考虑反证法的使用.反证法的应用范围很广，比如代数、数论、几何、组合等方面的应用.

夜上海论坛 一、反证法的概念及类型

反谓反证法，就是在要证明“若A则B”时，可以先将结论B予以否定，记作，然后从A与出发，经正确的逻辑推理而得到矛盾，从而原命题得证.

夜上海论坛 反证法大致可分为以下两种类型：

归谬法：论题结论的反面只有一种情况，只要把这种情况就达到了目的.

穷举法：论题结论的反面不止一种情况，要一一驳倒，最后才能肯定原命题结论正确.

二、反证法常用于以下几种命题的证明

1.存在性命题

夜上海论坛 例1：证明A，B，C，D，E五数之和等于5，则其中必有一个不小于1.

夜上海论坛 分析：这个问题似乎很简单，但直接的证明是不容易的.因此，应用反证法，它可以很容易地证明.

夜上海论坛 证明：假设A，B，C，D，E都小于1，那么A+B+C+D+E

夜上海论坛 所以5个数都小于1不成立，故必有一个数不小于1，即原命题是正确的.

2.否定性命题

夜上海论坛 例2：设平面上有六个圆，每个圆的圆心都在其余各圆的外部.试证明：平面上任一点都不会同时在这六个圆的内部.

夜上海论坛 分析：直接证明某点在哪些圆的内部，在哪些圆的外部，有些困难，故最好用反证法来证明.

夜上海论坛 证明：假设平面内有一点M同时在这六个圆的内部，为了方便，我们把绕M的六个圆心从某个开始按顺时针方向分别记为A，B，C，D，E，F，连结MA，MB，MC，MD，ME，MF.

夜上海论坛 考虑AMB，M在A内，B在A外，所以有AB>AM，同理，AB>BM，即在AMB中，AB大于其他两边.

夜上海论坛 由“大边对大角”知，∠AMB>∠ABM.同理，∠AMB>∠BAM.

夜上海论坛 所以，3∠AMB>∠ABM+∠AMB+∠BAM=180°，

所以∠AMB>60°.

同理∠BMC、∠CMD、∠DME、∠EMF、∠FMA均大于60°.

所以∠AMB+∠BMC+∠CMD+∠DME+∠EMF+∠FMA>360°.

但是，很显然，这个角围成了一个周角，它们的和不可能大于360°，出现矛盾.

故而假设不正确，所以原命题成立.

3.唯一性命题

例3：求证方程x=sinx+a（a为常数）的解唯一.

夜上海论坛 分析：直接解或证明是非常困难的，作为唯一的命题往往采用反证法证明.

所以原方程的解是唯一的.

从上面的例子中，我们可以看到，最大的优势是反证法――超过一个或几个条件，从相反的结论来看，与一些已知的条件下，原出口的冲突，从而达到负的假设、肯定原命题的目的.从上面，我们应该充分利用反证法，必须正确把握灵活运用“反设”“归谬”这两个反证步骤.反设是反证法的第一步，能否正确否定结论，对论证的正确性有着直接的影响.

反证法是很巧妙的，它的应用是很广泛的，但究竟怎样的命题证明才适于用反证法，却很难回答，这是一个经验问题.

参考文献：

夜上海论坛 [1]李建泉.中等数学[M].中国学术电子出版社，2004.

[2]刘广云.数学分析选讲[M].哈尔滨：黑龙江教育出版社，1993.

夜上海论坛 [3]张顺燕.数学的思想、方法和应用[M].北京：北京大学出版社，2003.

第2篇

夜上海论坛 关键词： 中学数学教学 反证法 使用条件

在生活中，我们都有这样的常识，去掉大米中的砂粒，有两种方法.一种是直接从大米中把砂粒一粒一粒地拣出来；一种是用间接的方法――淘洗法，把砂粒残留下来.这两种方法虽然形式不同，但结果却是一样的，都能达到去掉砂粒的目的.有时用直接方法很困难，而用间接方法却容易得多.牛顿曾说：“反证法是数学家最精当的武器之一.”当一些命题不易从正面直接证明时，就可考虑用反证法.

一、反证法的基本概念

1.反证法的定义

法国数学家阿达玛对反证法的实质做了如下概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这是对反证法的极好概括.其实反证法也称作归谬法。反证法适合一些正面证明比较困难，但是否定则比较简单的题目，在高中数学中的应用较为广泛，在解决一些较难问题的时候，反证法能体现其优越性.

2.反证法的基本思想

夜上海论坛 反证法的基本思想就是否定之否定，这种基本思想可以用下面的公式表示：

“否定推理矛盾肯定”，即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定.

3.反证法的逻辑依据

通过以上三个步骤，为什么能肯定原命题正确呢？其逻辑根据就在于形成逻辑的两个基本规律：“排中律”和“矛盾律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真.所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的.

夜上海论坛 二、反证法的步骤

用反证法证题一般分为三个步骤：

1.反设.假设原命题的结论不成立；

夜上海论坛 2.归谬.从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；

3.结论.由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确.

夜上海论坛 即：否定结论推导出矛盾结论成立.

夜上海论坛 三、反证法的种类

夜上海论坛 1.归谬反证.结论的反面只有一种情形，只要把它驳倒，就能达到证题目的.

2.穷举反证.结论的反面不止一种情形，必须将它们逐一驳倒，才能达到证题目的.

夜上海论坛 四、反证法的典型例题

例1：已知：AB，CD是圆内非直径的俩弦（如图），求证：AB与CD不能互相平分.

证明：假设AB与CD互相平分与点M，则由已知条件AB，CD均非圆O直径，可以判定M不是圆心O，联结OA，OB，OM.

夜上海论坛 因为OA=OB，M是AB中点，所以OMAB（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）.同理可得：OMCD，从而过点M有两条直线AB，CD都垂直于OM.这与已知的定理相矛盾.故AB与CD不能互相平分.

夜上海论坛 五、反证法的使用条件

夜上海论坛 任何方法都有它成立的条件，也都有它适用的范围.离开了条件超越了范围就会犯错误，同样，问题解决也就没有那么容易.因此，我们应该学会正确使用反证法解题.

夜上海论坛 虽然用反证法证明，逻辑推理严谨而清晰，论证自然流畅，可谓是干净利落，快速而可行，是一种很积极的证明方法，而且用反证法证题还有很多优点：如思想选择的余地大、推理方便等.但是并不是什么题目都适合用反证法解决.

夜上海论坛 例2：如果对任何正数p，二次方程ax+bx+c+p=0的两个根是正实数，则系数a=0，试证之.

夜上海论坛 分析：看了本题的证明过程似乎很合理，但其实第三步，即肯定原结论成立的论证错了.因为，本题的题设条件为对任意正数p，y=0有两个正实数根，结论是a=0，但本题的题设条件与结论是矛盾的；当a=0时，二次方程就变成了一次方程bx+c+p=0，此一次方程在b≠0时，对于任何正数p，它只有一个根；在b=0时，仅当p=-c>0的条件下，它有无数个根，否则无根，但总之不会有两个根.题设条件和结论矛盾.因此，本题不能反证法来处理.若原题改为“如果对于任何正数p，只存在正实根，则系数a=0”，就能用反证法证明.

夜上海论坛 因此，对于下列命题，较适用反证法解决.

夜上海论坛 （1）至多至少型命题；（2）唯一性命题；（3）否定型命题；（4）明显型命题；（5）此前无定理可以引用的命题.

例3：设a，b都是正数，求证：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b.

证明：反设ln（a/b）≤（a-b）/b不成立，便有ln（a/b）≥（a-b）/b，由对称性知：ln（b/a）≥（b-a）/a，相加得：ln（a/b）+ln（b/a）>（a-b）/b+（b-a）/a

夜上海论坛 即：0>（a-b）/a≥0这一矛盾说明ln（a/b）≤（a-b）/b

夜上海论坛 即：ln（b/a）≥（a-b）/b

交换位置：ln（a/b）≥（a-b）/b

合并得：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b

反证法是数学中的一种重要的证明方法.牛顿曾说：“反证法是数学家最精当的武器之一.”它是从命题的否定结论出发，通过正确的逻辑定理推理导出矛盾，从而证明原命题的正确性的一种重要方法.反证法之所以有效是因为它对结论的否定实际上增加了论证的条件，多一个条件，这对发现正确的解题思路是有帮助的.对于具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，通过逆向思维，从结论入手进行反面思考，问题就能迎刃而解.在现代数学中，反证法已成为最常用和最有效的解决问题的方法之一.

参考文献：

[1]赵振威.中学数学教材教法[M].华东师范大学出版社，2000.

[2]刘世泽.反证法的逻辑依据[J].高等函授学报，1997（4）.

夜上海论坛 [3]耿素云.离散数学[M].北京：高等教育出版社，1998.

[4]赵杰.反证法―――化难为易的法宝.中学生数理化（高二版），2010，（3）.

[5]路从条.“反证法”思想在中学教学中的运用.福建教育学院学报，2003，（3）.

第3篇

夜上海论坛 关键词：反证法；证明；矛盾；命题；假设

有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃.在数学里这种方法叫反证法.

反证法不但在实际生活和初等数学中有着广泛的应用，而且在高等数学中也具有特殊作用.数学中的一些重要结论，从最基本的性质、定理，到某些难度较大的世界名题，往往是用反证法证明的.即：提出假设――推出矛盾――肯定结论.

“反证法”虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其他各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用.下面通过具体的例子来说明其应用。

一、否定性命题

证明：假设AB，CD不平行，即AB，CD交于点P，则过P点有ABEF，且CDEF，与“过直线外一点，有且只有一条直线垂直于已知直线”矛盾.假设错误，则AB∥CD

夜上海论坛 否定结论导出矛盾是反证法的任务，但何时出现矛盾，出现什么样的矛盾是不能预测的，也没有一个机械的标准，有的甚至是捉摸不定的.一般总是在命题的相关领域里考虑（例如，平面几何问题往往联系到相关的公理、定义、定理等），这正是反证法推理的特点.因此在推理前不必要也不可能事先规定要得出什么样的矛盾.只需正确否定结论，严格遵守推理规则，进行步步有据的推理，矛盾一经出现，证明即告结束.

反证法推理过程中出现的矛盾是多种多样的，推理导出的结果可能与题设或部分题设矛盾，可能与已知真命题（定义或公理、或定理、或性质）相矛盾，可能与临时假设矛盾，或推出一对相互矛盾的结果等.

第4篇

法国数学家阿达玛对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明.

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真.所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的.

夜上海论坛 反证法的证题模式可以简要的概括为“否定推理否定”.即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”.应用反证法证明的主要三步是：否定结论 推导出矛盾 结论成立.实施的具体步骤是：

第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；

第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；

第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立.

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法.用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”.

在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”.一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显.具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能会迎刃而解.

例1直线 ∥b，b∥c，那么直线 与c平行吗？为什么？

学生通过自学之后再小组讨论，很容易应用反证法想到：若直线 与c不平行，则与平行公理矛盾，从而得到结论.

例2 证明2为无理数.

假设2为有理数，那么存在两个互质的正整数p、q，使得：2=pq，于是p=2q.

两边平方得p2=2q2.

由2q2是偶数，可得p2是偶数.而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数.

夜上海论坛 因此，可设p=2s，代入上式，得：4s2=2q2.即：q2=2s2.

所以q也是偶数.这样，p、q都是偶数，不互质，这与假设p、q互质矛盾.

这个矛盾说明，根号2不能写成分数的形式，即2不是有理数.

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾.

夜上海论坛 图1例3 如图1，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点.求证：AC与平面SOB不垂直.

夜上海论坛 分析：结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直”.

证明：假设AC平面SOB，因为 直线SO在平面SOB内， 所以 ACSO，因为 SO底面圆O， 所以 SOAB，所以 SO平面SAB， 所以平面SAB∥底面圆O，这显然出现矛盾，所以假设不成立.即AC与平面SOB不垂直.

注：否定性的问题常用反证法.例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾.

例4已知三个方程x2+4ax-4a+3=0

x2+（a-1）x+a2=0，

x2+2ax-2a=0.

夜上海论坛 至少有一个方程有实根，使求实数a的取值范围.

分析： 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根.先求出反面情况时 的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案.

解： 设三个方程均无实根，则有：

Δ1=16a2-4（-4a+3）

夜上海论坛 Δ2=（a-1）2-4a2

Δ2=4a2-4（-2a）

解得-32

a13

-2

即-32

所以，当a≥-1或a≤-32时，三个方程至少有一个方程有实根.

注：“至少”、“至多”问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单.本题还用到了“判别式法”、“补集法”（全集R），也可以从正面直接求解，即分别求出三个方程有实根时（≥0） 的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集.两种解法，要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻.

例5 给定实数a， a≠0且a≠1，设函数y=x-1ax-1 （其中x∈R且x≠1a），证明：①.经过这个函数图象上任意两个不同点的直线不平行于x轴； ②.这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图象.

分析：“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而假设.

夜上海论坛 证明： ① 设M （x ，y ）、M （x ，y ）是函数图象上任意两个不同的点，则x1≠x2，

夜上海论坛 假设直线M1M2平行于x轴，则必有y1=y2，

即x1-1ax1-1=x2-1ax2-1，

整理得a（x1-x2）=x1-x2.

因为x1≠x2，所以a=1， 这与已知“a≠1”矛盾，

因此，假设不对，即直线M1M2不平行于x轴.

夜上海论坛 ② 由y=x-1ax-1得axy-y=x-1，即（ay-1）x=y-1，所以x=y-1ay-1，

即原函数y=x-1ax-1的反函数为y=x-1ax-1，图象一致.

由互为反函数的两个图象关于直线y=x对称可以得到，函数y=x-1ax-1的图象关于直线y=x成轴对称图象.

第5篇

所谓反证法，就是要证明“若A则B”时，先将结论B予以否定，记作B，然后从A与B出发，经正确的逻辑推理而得到矛盾（可以与已知矛盾，如本文中的例1；也可以与假设矛盾，如本文中的例2；也可以和学过的定义、定理、法则等矛盾，如本文中的例3），从而使原命题得证.

反证法大致又可以分为以下两种类型.

1.归谬法：论题结论的反面只有一种情况，只要把这种情况就达到了证明目的，如本文中的例1和例3.

夜上海论坛 2.穷举法：论题结论的反面不止一种情况，要一一驳倒，最后才能肯定原命题结论正确，如本文中的例2.

反证法常用于以下几种命题的证明.

一、命题中不易找出可以直接推证的关系

夜上海论坛 例1 在同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a与b相交，ac，bd.求证：c与d相交.

证明：假设c∥d.因为ac，所以ad.又因为bd，所以a∥b.这与已知a与b相交矛盾，所以c与d相交.

夜上海论坛 二、命题中含有“不”、“无”等词（称作否定形式的命题）

夜上海论坛 例2 求证：当n为自然数时，2（2n+1）形式的数不能表示为两个整数的平方差.

夜上海论坛 证明：假设有整数a、b，使a2-b2=2（2n+1），即（a+b）（a-b）=2（2n+1）.

当a、b同为奇数或同为偶数时，a+b和a-b皆为偶数，则（a+b）（a-b）应为4的倍数，但2（2n+1）除以4余2，与假设矛盾.

当a、b为一奇一偶时，a+b和a-b皆为奇数，则（a+b）（a-b）应是奇数，但2（2n+1）是偶数，与假设矛盾.

所以假设错误，即2（2n+1）形式的数不能表示为两个整数的平方差.

三、命题中含有“最多”、“最少”、“超过”、“不超过”等词

第6篇

夜上海论坛 关键词 新课标，反设，归谬，存真

通常，人们在做数学论证时，往往习惯于用直接法正向求证，由条件逐步推出结果，然而，有时候对某一些数学问题，根据已知条件很难推出所要求的结论，这就要求我们必须尝试用另一种方式进行间接论证，这就是我们通常所説的反证法。

看下面例子：

夜上海论坛 例1 把1600颗花生分给100只猴子，证明：不管怎样分法，至少有四只猴子得到的花生一样多。

解法探析：假设至多有三只猴子分得的花生数相同，我们从所需花生最少的情况考虑：

3只猴子各分得0颗花生，

夜上海论坛 3只猴子各分得1颗花生，

夜上海论坛 3只猴子各分得2颗花生，

夜上海论坛 、、、 、、、

3只猴子各分得32颗花生，

夜上海论坛 最后一只猴子分得33颗花生。

这样，100只猴子共需花生 3×﹙1﹢32﹚×32∕2 ﹢33＝1617（颗）

这与题设只有1600颗花生矛盾，故原命题成立。

夜上海论坛 通过以上例子，对这类用直接证法难以下手的题目，用反证法求解时则十分简便，那么究竟如何运用反证法呢？

夜上海论坛 （一）　通常来说，用反证法时有三个步骤：

ⅰ　反设

“反设”就是正确的否定结论。由于它是反证法的出发点，所以如果反设出现错误，将导致全盘皆错。关于“反设”应注意：

1　首先要弄清题目的条件和结论；

夜上海论坛 2　强调“反设”是对结论的全否定。

例如 求证：若a，b为自然数，且a×b是奇数，则a，b都是奇数。

夜上海论坛 结论的反面应是：“a，b不都是奇数”。而不是：“a，b都不是奇数”。

ⅱ　归谬

夜上海论坛 以“反设”为出发点，题设条件为根据，通过正确推理，得出矛盾。这是反证法的核心。

由于反证法推出矛盾的类型很多，出现矛盾的情形又比较复杂，因此在进行归谬时，经常会陷入困境，甚至对自己的正确推理产生疑惑，因此，举例説明推出矛盾的主要类型：

①与客观事实矛盾

例 高一有400名学生，求证：这400名学生中至少有两名学生的生日是相同的。

证明：假设400名学生的生日都不相同，那么一年将有400天，这与客观实际相矛盾，故原命题成立。

夜上海论坛 ②与公理，定理矛盾

例 如果两直线都平行与第三条直线，则这两条直线也相互平行。

夜上海论坛 证明：假设这两条直线不平行，则必然相交于一点。这样就得出：过直线外一点，能做出两条直线与该直线平行的直线。这与平行公理矛盾。

③与题设矛盾

例如 前面猴子分花生的例子，由假设求出的结果共需花生1617颗，而题设只有1600颗花生，矛盾。

④与反设矛盾

ⅲ　存真

夜上海论坛 由所得矛盾肯定原命题成立。

（二）反证法的适用范围

什么类型的数学命题可以用反证法证明呢？一般来説，对于“若A则B”一类的数学命题，都能用反证法来证明，但难易程度不同，就多数题来説，直接证法比较简捷。因此在证题时，首先应考虑使用直接证法。当用直接证法无法下手甚至不可能时，可考虑使用反证法。

通常来说，下列情况可以考虑使用反证法：

（1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少；

（2）命题的结论以否定形式出现时；

（3）命题的结论以“至多”、“至少”的形式出现时；

夜上海论坛 （4）命题的结论以“唯一”的形式出现；

（5）命题的结论以“无限”的形式出现时；

夜上海论坛 （6）关于存在性命题；

（7）某些定理的逆定理．

夜上海论坛 总之，正难则反，直接的东西较少、较抽象、较困难时，其反面常会较多、较具体、较容易．反证法有时也用于整个命题论证过程的某个局部环节上．

以上简单列出了运用反证法推出矛盾的主要类型，方便我们参考，应该注意的是，一个数学命题，究竟使用那种证明方法更方便一些，要具体问题具体分析，切不可生搬硬套。

参考文献

1 “正难则反”好思路　峰回路转现通途

作者：朱浩； 福建中学数学2009年第05期

反证法完全解读

作者：陈素珍 中学生数理化（高二版）2010年第02期

夜上海论坛 3 反证法在中学数学证明题中的应用

第7篇

关键词：错题整理；反馈矫正；教学策略

一、问题的提出

夜上海论坛 高中学生数学学习已经一年了，但学生对高中数学学习有很大的困惑。有学生跟我说：“老师，我自认为我的数学基础不错，为什么有些问题平时上课错了，后来我自认为弄懂了，可在单元测试中又错了，而期末考试考到本题，我还是失分了。这是怎么回事呢？这样，一错再错，我真得对自己没信心了。”也有学生说：“我数学怎么考不了高分呢？每次总会在某些地方出错。”我认为，我们的学生在数学错题整理中存在问题：（1）由于长期受应试教育的影响，学校以及教师缺乏明确的较为系统的错题整理教学策略，我们高中生普遍重视错题，但并没有很好地处理错题，相对缺乏明确的错题整理意识；（2）有些学生可能比较积极地面对自己的错误，较少感受到因犯错误而被他人贬低的心理压力，在错题整理态度和观念上必定高于普通生；（3）有些学生基于个人经验积累了一些错题整理经验，在错题整理行为与策略上必定强于一般学生。可见，构建高中学生数学“错题整理―反馈矫正”的教学策略和方法显得尤为重要。

二、教学策略和方法的实施

1.学生方面：（1）避免错题发生的预防。培养学生在每一次作业或练习时，能主动地进行检查和检验，以降低错题出现的概率。操作上，从课堂练习进行训练。（2）形成“错题整理―反馈矫正”的氛围。在班级中营造解决错题的氛围，让学生共同关注错题，激发反思错题的热情。定期从学生的“错题集”中选出有代表性的错题，让学生在课堂上进行剖析，充分暴露解题思路，讨论错误原因。在学生常犯错误的关键之处，经常适时地引导学生去反思、回顾。（3）养成“错题整理―反馈矫正”的习惯。努力帮助每个学生逐步养成独立反思的良好习惯。拟采取以下方法：①有错必纠，②坚持训练。（4）善于错题成因的分析。学生对练习、检测中的错题，缺乏独立分析的能力，因此，教师必须教给他们错题分析的方法。①反馈矫正题目要求。②反馈矫正解题过程。③反馈矫正生活实际。④反馈矫正书写及笔误。（5）勤写日记，课后反思。引导学生随时写反思日记，让学生在反思日记中逐渐成长，成为一个自律的学习者。

夜上海论坛 2.教师方面：（1）及时建立学生错题档案。教师在改作业的过程中及时建立学生错题集，帮助教师积累教学过程，对学生产生错题的原因做到胸有成竹。（2）相互交流。学生是有差异的个体，加上基础不同，每位学生所犯的错误也有差异，通过交流错题本，学生可以从别人的错误中吸取教训，扬长避短，以此警示自己不犯同类错误，达到更深刻地理解所学知识的目的。（3）加强教学中的预防。教师结合课堂教学，借助错题集及学生的错题反馈矫正，课内安排更多的相关的错题的矫正训练，进行一些课堂内的辨析训练、改错训练，以帮助学生培养自我反思的本领。（4）采用多种方法反馈矫正。关注各个层次的学生，对于学习一般的学生，就采用“一看、二想、三算、四查”的方法进行反馈矫正。定期从学生的“错题集”中选出有代表性的错题，让学生在课堂上进行剖析，充分暴露解题思路，讨论错误原因。

夜上海论坛 三、修正方案

夜上海论坛 根据以上几点，对实施方案加以完善。

1.加强个别指导。教师结合学生自身的特点，引导学生寻找最佳的学习方法，学生才能更有信心学好数学。教师应当指导学生增强数学意识。数学意识是指学生在面对数学问题时该做什么及怎么做，我们应该加强数学意识教学，指导学生以意识带动双基，对易分化的地方采取多次反复，加强辅导，开辟专题讲座，指导阅读参考书等方法，将出现的错误提出来让学生议一议，充分展示他们的思维过程，通过变式练习，达到灵活掌握、运用知识的目的。

夜上海论坛 2.常改变练习的形式，如：（1）例题变式训练，让学生学会观察归纳。（2）让学生上台当小老师，进行错解剖析，培养批判性思维。（3）让学生根据要求进行命题，相互考察，让学生在兴趣中学习。适时组织和指导学生归纳知识和技能的一般规律，有助于学生更好地学习、记忆和应用。

夜上海论坛 3.数学学科担负着培养学生运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力以及运用所学知识分析问题、解决问题能力的重任。它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。而且学生的认知水平具有差异性，所以应将学生分为三个层次，布置不同的任务。

A层次（学习基础较差的同学）要求：会审题。

夜上海论坛 B层次（学习中等的同学）要求：会建模、会转化。

夜上海论坛 C层次（学习较好的同学）要求：会归类、会反思、会编题。

综上所述，在高中数学教学中，要结合学生的个性学习心理品质的发展，利用学生身边最常见的错误――错题，进行分析和整理，找出个体错误多发带，结合对个性心理品质的分析，学生自我反馈矫正策略，开展具有针对性的训练，以改善学生个性学习心理品质，提高学生在学习过程中的自我反馈矫正能力，形成良好的学习自我调整系统，促进学生学习能力充分发展，以真正达到“减负增效”的目的。

参考文献：

夜上海论坛 [1]罗增儒.数学解题的错例分析[J].中学数学教学参考：中旬，2009（07）.

第8篇

关键词：反证法 立体几何

反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾的命题，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了原命题的结论，从而使命题获得了证明。

夜上海论坛 具体的实施步骤为：第一步：反设，即作出与求证结论相反的假设；第二步：归谬，即将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步：存真，即说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

立体几何较其它学科而言有困难的一面，其中有些问题简直叫人束手无策。当山重水复疑无路时，若遵循“正难则反”的解题原则，应用反证法，则常可柳暗花明又一村。况且反证法是常用的数学解题方法。现列举反证法解决立体几何的几类棘手问题，以期抛砖引玉。

现列举反证法在立体几何证明中的一些常见应用，以供参考。

夜上海论坛 1、证明2条直线是异面直线

夜上海论坛 证明2条直线是异面直线可以用“平面内的直线与过平面外一点及平面内不在该直线上的一点的直线是异面直线”这一结论，但常用的还是反证法。

例1 如下图所示，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P， A∈a， D∈a， B∈b，E∈c，求证BD和AE是异面直线。

证明 设BD和AE不是异面直线，则BD与AE确定一个平面β，有A∈β， B∈β，E∈β，D∈β。因为A∈a，D∈a，所以a β。

夜上海论坛 又因为P∈a，所以P∈β。因P∈b，B∈b，所以b β。因E∈c，P∈c，所以c β，这与a、b、c不共面矛盾，从而有BD和AE是异面直线。

夜上海论坛 2、否定性命题

当结论以“没有…”、“都不…”、“不是…”、“不能…”、“不存在…”等否定形式出现时，由于直接法证明不易入手，可以考虑用反证法证明。

例2证明：在空间中不可能有这样的多面体存在，它们有奇数个面，而它们的每个面又都有奇数条边。

分析：条件中出现“奇数个面”、“奇数个边”，由此联想到奇数的性质，借助于奇数的性质来证明结论。

证明：假设存在这样的多面体。它有n个面（n为奇数），每个面的边数分别是S；、S：、…、S n（S，、52…S。都是奇数），并设多面体的总边数是5。因为每条边都是两个面公有的，所以S；十52+…+S。~25。此式的左边是奇数个奇数的和，仍然是奇数；而右边是偶数，这是不可能的。所以命题得证。

夜上海论坛 说明：在命题结论中涉及否定论断，因为再否定就是肯定，而对于肯定的结论一般比原结论更具体明确，易于证明。

3、此前无定理可直接引用

夜上海论坛 学习立体几何的初始阶段，有时面对题目中需证的结论，由于所学定理很少，往往没有能从正面直接可用的定理，显得无法入手。此时若用反证法，很可能豁然开朗，化难为易。

例3 已知四边形ABCD的四个角ABC、BCD，CDA、DAB都是直角，求证四边形ABCD是矩形。

A

分析 要证四边形ABCD是矩形，因其四个角都是直角，故只要证明四边形是平面四边形即可。

夜上海论坛 证明假设四边形ABCD的四条边不在同一个平面内，不妨设边BC，CD在平面a内，则AB ，AD都在平面a外。

作AA'a于A'，连结A'B，A'D，则由AB上BC，ADCD，根据三垂线逆定理得A'BBC，A'DCD。从而平面四边形A' BCD中有三个直角，则四边形A'BCD是矩形， BA'D=900，BD2=A'B2+A' D2。

又在RtABD中，BD2= AB2 + AD2，因而有A'B2+A'D2=AB2+AD2。但由A'B < AB，A' D < AD，知A'B2+A'D2

所以假设不成立，则四边形ABCD是平面四边形，进而是矩形。

4、数量上无限的某种元素

结论是数量上无限的某种元素都具有某种特征的命题，无法把这些元素一一列举出来给以直接证明，这时可采用反证法证明其中任意一条莫不具有这种特征。

夜上海论坛 例4 过已知平面外一点且平行于该平面的直线，都在过已知点平行于该平面的平面内。

5、运用反证法应注意的问题

夜上海论坛 （1）穷举法的运用。如果原命题的否定只有一面，那么只须把这一面，这种单纯的反证法叫归缪法：如果命题题断的否定不只是一面，此时必须将其各面都驳倒，才能肯定原来的题断成立。这种较繁的反证法叫穷举法。我们在运用反证法时，要注意穷举法的运用。例如已知：a//b，a =A，求证：b和 必相交于一点。用反证法证明时，应假设b和 不相交于一点，然而不相交于一点包含两个方面，一是b ，二是b// ，因此必须分两个方面予以推论而得：b 不可能，及b// 也不可能，从而得出b和必相交于一点。

夜上海论坛 （2）反证法时的图设。用反证法证题时，假设和命题的事实是相矛盾的。因此在空间图形的图设中，不可能用一个图形把两个相互矛盾的方面同时反映出来。所以作图时，我们常常把所作的图形故意加以歪曲。

（3）反证法的图设大致可分三类：一类是按事实原本无法成型的。这类题目在应用反证法时，我们应对事实作全部的歪曲，也就是在证题过程中作出一个假设成立的四棱锥，并且它符合题设给我们的条件。第二类是在正确的图形中，添补局部与事实不符的图形。第三类，是按题设可以正确作出图形的，此类题目也就不必对图形加以歪曲。

参考文献：

夜上海论坛 [1]郝睿达.立体几何中的反证法[J].数理化解题研究（高中版）,2007(3)

夜上海论坛 [2]王树忠.数学分析教学中的“反证法”探析[J].林区教学,2007(7)

第9篇

一、反证法

既然反证法是间接证法,那么反证法也是通过证明原命题的等价命题从而证明原命题的。反证法是指:“证明某个命题时,先假设它的结论的否定成立,然后从这个假设出发,根据命题的条件和已知的真命题,经过推理,得出与已知事实(条件、公理、定义、定理、法则、公式等)相矛盾的结果。这样,就证明了结论的否定不成立,从而间接地肯定了原命题的结论成立。”这种证明的方法,叫做反证法。运用反证法证题一般分为以下三个步骤。

1.假设命题的结论不成立;

夜上海论坛 2.从这个结论出发,经过推理论证,得出矛盾;

3.由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。

夜上海论坛 即:提出假设―推出矛盾―肯定结论。

夜上海论坛 反证法在线性代数解题中的应用非常广泛,但什么时候应该使用反证法,证明哪些命题适宜使用反证法,都没有一定的规律可循。原则上说,应该因题而异、以简为宜。首先从正面考虑,当不易证明时,再从反面考虑。当由假定原命题结论的否定成立去推出矛盾比证明原命题更容易时,就应该使用反证法。

夜上海论坛 二、反证法在解线性代数题时的应用

夜上海论坛 1.对于结论是否定形式的命题,宜用反证法。

由于定义、定理等一般是以肯定的形式出现,因此用它们直接证明否定形式的命题可能会有困难。但否定的反面是肯定,因而从结论的反面入手,即用反证法来证会比较方便。

例1.设矩阵A的特征值λ≠λ,对应的特征向量分别为α、α,证明:α-α不是A的特征向量。

证明:假设α-α是矩阵A的特征向量,则存在数λ,使A(α-α)=λ(α-α)=λα-λα。又由题设条件可知Aα=λα、Aα=λα,于是A(α-α)=Aα-Aα=λα-λα,则有λα-λα=λα-λα,即(λ-λ)α+(λ-λ)α=0。因α、α是属于不同特征值的特征向量,故α、α线性无关,则λ-λ=λ-λ=0,也即有λ=λ。与题设λ≠λ矛盾,所以α-α不是A的特征向量。

夜上海论坛 2.对于证明结论是“肯定”或“必然”的命题,宜用反证法。

夜上海论坛 即命题结论中出现“等于什么”、“必然是什么”、“一定是什么”等形式,而且从反面较易入手解题时,可考虑使用反证法。

夜上海论坛 例2.若λ不是A的一个特征值,则矩阵λE-A一定是可逆矩阵。

证明:用反证法,即设矩阵λE-A不可逆,则行列式|λE-A|=0,说明λ是特征方程|λE-A|=0的根,也即说明λ是A的一个特征值,与已知矛盾。所以矩阵λE-A一定是可逆矩阵。

夜上海论坛 例3.设β可由α,α,…,α线性表出,但不能由α,α,…,α线性表出,证明α一定可由β,α,α,…,α线性表出。

证明:用反证法,由题设可知,存在一组常数k,k,…,k,使得β=k,α+kα+…+kα。假设k=0,则存在一组常数k,k,…,k,使得β=kα+kα+…+kα成立,所以β可由α,α,…,α线性表出,这与题设矛盾,即k≠0;所以α=β+(-)α+(-)α+…+(-)α,即α一定可由β,α,α,…,α线性表出。

夜上海论坛 3.对于证明结论是“惟一”或“必然”的命题,宜用反证法。

夜上海论坛 即命题结论要求证明某元素是“惟一”或某种表示方式是“惟一”的,而直接去找某个元素或某种表示方式比较困难时,则可考虑从其反面入手。

夜上海论坛 例4.设向量β可由向量组α,α,…,α线性表出,证明:表示式惟一的充分必要条件是向量组α,α,…,α线性无关。

证明:由题设,存在常数k,k,…,k,使得kα+kα+…+kα=β(1)。

证明充分性:设向量组α,α,…,α线生无关,来证β由α,α,…,α的线性性表示式惟一。

夜上海论坛 假设β由α,α,…,α的线性表示式不惟一,设还有线性表示式为lα+lα+…+lα=β(2)。则k≠l(i=1,2,…,m),则(1)式与(2)式相减得:

(k-l)α+(k-l)α+…+(k-l)α=0。

夜上海论坛 由于α,α,…,α线性无关,故得k-l=0,即k=l(i=1,2,m)。这与k≠l(i=1,2,…,m)矛盾,即β由α,α,…,α线性表示式是惟一的。

证明必要性:设线性表示式(1)惟一,来证α,α,…,α线性无关。

夜上海论坛 假设α,α,…,α线性相关,则存在一组不全为0的数λ,λ,…λ,使得λα+λα+…+λα=0(3)。则(1)式与(3)式相加得:(k+λ)α+(k+λ)α+…+(k+λ)α=β。因为λ,λ,…,λ不全为0,从而存在β的两种不同表示方法,这与β由α,α,…,α的线性表示式惟一矛盾,因此向量组α,α,…,α线性无关。

4.对于证明结论是“至少什么”或“至多什么”的命题,宜用反证法。

夜上海论坛 例5.试证:向量组α,α,…,α(其中α≠0,s≥2)线性相关的充分必要条件是至少有一个向量α(1≠i≤s)可以被α,α,…,α线性表出。

证明充分性:设有向量α可以由α,α,…,α线性表出,则α,α,…,α线性相关。由于α,α,…,α是α,α,…,α的一个部分组,所以α,α,…,α线性相关。

夜上海论坛 证明必要性:用反证法,假设每个α(1≠i≤s)都不能由α,α,…,α线性表出。我们接下来来证明α,α,…,α线性无关,设有一组数k,k,…,k,使得kα+kα+…+kα=0(1),

夜上海论坛 则必有k=0,否则k≠0时,α可由α,α,…,α线性表出,与假设不符。这样(1)式成为kα+kα+…+kα=0。同理可推出k=0,…,k=0,因此(1)式成为kα=0。

又已知α≠0,故得k=0。所以向量组α,α,…,α线性无关,与必要性的题设矛盾,假设不成立。即至少有一个向量α可以由α,α,…,α线性表出。

夜上海论坛 5.对于某些逆命题的正确性,可用反证法。

夜上海论坛 当原命题与其逆命题都成立时,其逆命题的正确性可用反证法来证明。

例6.设A是n阶实对称矩阵。试证:r(A)=n的充分必要条件是存在矩阵B,使AB+BA是正定矩阵。

证明必要性:由r(A)=n知A是可逆矩阵,取B=A,则有AB+BA=AA+(A)A=AA+(A)A=2E为正定矩阵。

夜上海论坛 证明充分性:用反证法,假设r(A)≠n,则n元齐次线性方程组AX=0有非零解,即有X≠0,使AX=0,也就有XA=0。由(AB+BA)=BA+AB=AB+BA,说明AB+BA是实对称矩阵。

上述X≠0时,f=X(AB+BA)X=0,与AB+BA是正定矩阵矛盾,所以r(A)=n。

参考文献:

[1]钱椿林.线性代数(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2005.

[2]王中良.线性代数解题指导[M].北京:北京大学出版社,2004.

夜上海论坛 [3]同济大学应用数学系.线性代数附册(学习辅导与习题选解)[M].北京:高等教育出版社,2009.

第10篇

夜上海论坛 关键词：中职数学；解题方法

【中图分类号】G633.6

【文献标识码】C

夜上海论坛 【文章编号】1671-8437(2012)01-0022-01

数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的。教师钻研习题、精通解题方法，可以促进教师进一步熟练地掌握中学数学教材，练好解题的基本功，提高解题技巧，积累教学资料，提高业务水平和教学能力。

下面介绍的几种解题方法，都是中学数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的。

夜上海论坛 1、配方法：所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂和的形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛。在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都会经常用到它。

2、因式分解法：因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题过程中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除了中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项、添项、求根分解、换元、待定系数等等。

3、换元法：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题变得容易解决。

4、判别式法与韦达定理：一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b、c∈R，a≠0)根的判别式=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至解析几何、三角函数的运算中都有非常广泛的应用。

夜上海论坛 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个根的和与积，求这两个根等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等方面，都有非常广泛的应用。

5、待定系数法：在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式。最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题。这种解题方法称为待定系数法。待定系数法是中学数学中常用的重要方法之一。

夜上海论坛 6、构造法：在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。

夜上海论坛 7、反证法：反证法是一种间接证明方法，首先要提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到论证原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是／不是；存在／不存在；平行于／不平行于；垂直于／不垂直于；等于／不等于；大(小)于／不大(小)于；都是／不都是；至少有一个／一个也没有；至少有n个／至多有(n－1)个：至多有一个／至少有两个；唯一／至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设条件出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设条件矛盾；自相矛盾。

8、等(面或体)积法：平面(立体)几何中讲的面积(体积)公式以及由面积(体积)公式推出的与面积(体积)计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积(体积)，而且用它来证明(计算)几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积(体积)关系来证明或计算几何题的方法，称为等(面或体)积法，它是几何中的一种常用方法。

用归纳法或分析法证明几何题，其困难在添置辅助线。等(面或体)积法的特点是将已知和未知各量用面积(体积)公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用等(面或体)积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线。即使需要添置辅助线，也很容易想到。

9、几何变换法：在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单的问题从而简单的得以解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。

夜上海论坛 10、客观性题的解题方法：选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容量和知识的覆盖面。填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识覆盖面广，评卷准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防止学生有猜估答案的情况发生。下面通过实例介绍常用方法。

(1)直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。

第11篇

一、配方法

夜上海论坛 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和的形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用得最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到。

二、因式分解法

因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法，在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除了中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，还有如利用拆项添项法、求根分解法、换元法、待定系数法等。

夜上海论坛 三、换元法

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

夜上海论坛 四、判别式法与韦达定理

一元二次方程a2x+bx+c=O(a、b、c∈R，a≠0)根的判别，=b2―4ac不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形、解方程(组)、解不等式、研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

五、待定系数法

夜上海论坛 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。

六、构造法

在解题时，我们常常会采用这样的方法：通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。

夜上海论坛 七、反证法

反证法是一种间接证法，它先提出一个与命题结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

八、面积法

平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时也会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。

九、几何变换法

在数学问题的研究中，常常会运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题去解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。几何变换包括：(1)平移；(2)旋转；(3)对称。

第12篇

夜上海论坛 关键词：初中数学；逆向思维；开发；应用

在当前数学教学中常采用的反证法和公式、定理的逆用等都是运用了逆向思维，以下本文将简单介绍如何在初中数学教学中开发和应用逆向思维。

一、逆向思维在初中数学教学中的应用

逆向思维的重要意义就是要打破学生的思维定式，解除学生固有的思维框架，逆向思维就是在思考问题时思维发生突变和跳跃，从而获得全新的解题思路和方法，逆向思维是建设新理论、发展新科学的重要途径。在数学教学中常应用的假设需求解变量为x，即逆向思维在数学中最常见的应用，其原理就是把原本需求解的未知数假定为x代入算式中，视x为已知，利用关系式反推而最终求出x的值。早在19世纪逆向思维就被应用到数学教学中，从而得出了“非欧几何”，20世纪的“模糊数学”也是逆向思维在数学教学中应用的典型事例。

二、数学教学中逆向思维的开发和锻炼

夜上海论坛 关于如何在初中数学教学中开发和锻炼学生的逆向思维，笔者有以下两点建议。

1.将逆向教学渗入基础知识的教学中

数学是初中教育的基础学科之一，在重视学生对基础知识熟练掌握和应用的同时，将逆向思维、逆向教学引入，不但可以加深学生对基础知识的了解，还能够开拓学生的思维能力和思考方式。在概念等基础知识的教学上应着重加强逆向思维的教育。例如在概念中存在很多的“互为”关系，如“互为相反数”“互为倒数”等，教师可以利用这样的概念来引导学生从正反两个方面分析和解决问题，培养学生逆向思维的能力，帮助学生建立双向的思维模式。如果教师能够在数学教学中适当、适时地引导学生从命题的反面来思考问题，那么学生的逆向思维能力就会在基础知识的教学中逐渐被开发出来。

2.强化逆向思维在解题方法上的渗透

①分析法。分析法注重由结论倒推需要得出解题答案的条

件，倒推过程中会发现解题需要的充分条件都在已知条件中，分析法可以帮助学生认识到解题过程是可逆的，有助于学生逆向思

维能力的培养。②反证法。反证法就是利用已知条件推理论断来证明命题的相反面不成立，从而证明命题成立，反证法属于间接求证的方法，数学中的很多命题从正面得出结论是非常难的，这时一般都会采用反证法，加强学生对反证法应用的锻炼，有助于开发学生的逆向思维、拓展学生思维的深度和广度。③举反例法。在解决数学问题时，若要证明某个命题是错的，除直接证明外，还可以采用举反例的方式来证明。即找出一个符合命题的条件，但是在该条件下命题结论并不成立的例子，这样就证明这个命题是错误的，举反例法需要学生从逆向来看待问题、解决问题。因此，加强学生举反例的锻炼，也可极大地开发学生的逆向思维能力。

数学作为一门重要的学科之一，学生十分有必要学好数学，

夜上海论坛 这样学生才能更好地发展自身的学业。在新课程标准的推动下，逆向思维的应用对于初中数学教学来讲尤为重要。学生只有掌握好逆向思维的应用，才能更好地掌握数学基础知识，拓展想象力，进而有效拓展新的解题思路。

参考文献：

夜上海论坛 [1]辛宪军.基于标准的心理健康与社会适应学习评价指标体系及其评价方案的研究[D].华东师范大学，2010.

第13篇

所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其 中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求 函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

夜上海论坛 2、因式分解法

因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题 中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、 待定系数等等。

3、换元法

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

夜上海论坛 4、判别式法与韦达定理

一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R，a≠0)根的判别，=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。

夜上海论坛 5、待定系数法

夜上海论坛 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。

6、构造法

在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题 等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互 相渗透，有利于问题的解决。 　7、反证法

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命 题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为： (1)反设;(2)归谬;(3)结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于 /不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n一1)个;至多有一个/至少有两 个;唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。

8、面积法

夜上海论坛 平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。

夜上海论坛 用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来 解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。

夜上海论坛 9、几何变换法

夜上海论坛 在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中 学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到 中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。

几何变换包括：(1)平移;(2)旋转;(3)对称。

10、客观性题的解题方法

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夜上海论坛 关键词：初中数学 因式分解 方程法 解题

我们传统的数学教学方法都是依照课本上的解题思路进行教学，解数学题的时候也是参考一些比较固定的解题方法。这些惯用的解题方式有很多种，其中包括配方法、换元法、韦达定理、因式分解法、构造法、待定系数法、反证法以及面积法等等，本篇文章将着重进行反证法、面积法以及数形结合当中的方程法三种方法的探索。

一、反证法

这种证明方法是一种间接手段，这种解题方法的第一步就是进行一个和命题完全相反的假设，之后把假设作为基本成立条件，进行一个合理准确的推导，最终得出了一个与题设当中已知条件相悖的结果，这就产生了矛盾。接下来就可以否定掉先前做出的假设，证明原命题的结论本身就是正确的，最终通过这种方式证明原命题的正确性。

进行一个反面的假设是反证法的基础，要想保证假设的准确性，就必须首先掌握常规的那些对假设进行否定陈述的方法，因此，人们把反证法的关键之处放在归谬这一环节。对于矛盾的推导一般没有固定的章法可循，但是，反证法的出发点一定是这个反面假设，这样推导才能有起源，有理可依。推理的过程必须足够严谨，最终得出的结论可能有以下几种情况，其一是和已知的某个条件矛盾，其二是和某些非常显著的定理和定义，以及公式和公理等相互矛盾，其三就是和反面假设本身自相矛盾。

二、面积法

在平面几何的课程教学中，绝大多数内容会涉及到一些面积公式，与此同时，还会通过面积公式推导出一些面积计算的定理和性质等，不但能够通过这些结论进行面积的计算，还能够以此来进行平面几何问题的解答，最终产生事半功倍的解题成果。这种通过面积关系进行几何问题的解答或者是证明的方式就被称作面积法，这种解题方法在几何问题中使用非常普遍。

我们知道，如果通过分析法和归纳法进行几何问题的证明，其关键性的难题就在于那条辅助线的构造与添加。而面积法的关键就在于首先进行已知量和未知量二者之间的连结，连结的桥梁就是面积公式，之后再进行相应的计算，最终得到需要求证的结果。由此可见，面积法对于几何问题的解决，依托于数量关系的建立，而这个建立的基础就是几何元素之间的相互关系，需要进行相应的转化，这个过程一般只会涉及到计算，有些时候也需要进行辅助线的设置，但是很多情况下比较容易考虑到。

三、数形结合当中的方程法

作为数形结合当中比较常用的解题方法，方程法就是先对涉及的几何图形进行详尽地研究，最终将其归结成为相应的方程或者是方程组，在方程或者是方程组的解决过程中，对于几何问题可以达到一个更为深入透彻的了解和思考。一般情况之下，对于面积和线段的长度等几何问题，人们趋向于用方程法进行思考与解决。

举一个例子，一个圆当中有三条两两相交的直线，一条线为MA，一条线为NB，另一条线为OC，MA与NB的交点是D，NB与OC的交点是F，MA与OC的交点是F，而且已知DM=EO=FB，DN=EA=FC，需要证明的是：三角形DEF是一个等边三角形。证明过程如下：

假设DM=EO=FB=a， DN=EA=FC=b，EF=c，DF=d，DE=e，根据相交弦定理，可以得出：

夜上海论坛 a（b+e）=b（d+a）；a（b+c）=b（a+e）；a（b+d）=b（c+a），化简之后可以得出：ae=bd；ac=be；ad=bc。把这三个化简之后的式子进行运算，就可以得出a=b，所以，同时还能够得出，c=d=e，因此，可以得出结论，那就是三角形DEF是等边三角形。

夜上海论坛 初中数学涉及到的知识点和试题类型比较多，学生要想用较短的时间达到良好的学习效果，就需要学生掌握好解题的技巧和方法。总的来说，初中数学的解题思路和方式概括而言，就是先要进行基本概念的深入透彻的理解，深层次掌握数学符号、公式以及相关的定理，并且进行多角度的思考与理解，灵活运用解题技巧，善于发散性思维。与此同时，还需要在解题的过程当中，着重提高自己的运用能力，善于总结得出解题技巧，大力提升自己的学习运用能力。

参考文献：

夜上海论坛 [1]桑.初中数学解题方法探析.才智，2012（9）

[2]花爱琴.初中数学解题教学的有效方法探析.数理化解题研究（初中版），2012（8）

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【关键词】数学教学；培养；逆向思维

夜上海论坛 人们平时在学习和生活中惯用的思维方式是正向思维，但是正向思维在解决问题中却不一定是最好的思维方式，甚至有些问题根本就不适用于正向思维来解决，这时如果适时地进行一下相反方向的思考，也许就会豁然开朗，使问题迎刃而解。这就是人们常说的逆向思维。逆向思维是人们时常需要运用的一种重要的思维方式。逆向思维也称做求异思维，它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式。敢于“反其道而思之”，让思维向对立面的方向发展，从问题的相反方面深入地进行探索，树立新思想，创立新形象。常规，人们习惯于沿着事物发展的正方向去思考问题并寻求解决办法。其实，对于某些问题，尤其是一些特殊问题，从结论往回推，倒过来思考，从求解回到已知条件，反过去想或许会使问题简单化，找到解决问题的蹊径，使解决它变得轻而易举，甚至因此而有所发现，创造出奇迹来，这就是逆向思维和它的魅力。

例如：已知抛物线的方程y=x2－(k－3)x－k,求证:无论k为何值,抛物线与X轴的两个交点不能都落在X轴的正半轴上.这道题如果运用正向思维的方法进行思考,很难证明.但是如果逆向思维,先对要证明的结论加以否定,然后推出与已知相矛盾的结果,最后再加以否定,从而肯定要证明的结论,这样反其道而行,倒是很容易地解决了问题. 这也是众所周知的反证法。反证法也是逆向思维在解题过程中的一种表现形式。反证法是一种间接证法，它是通过证明一个命题的逆否命来证明原命正确的一种方法，是运用逆向思维的一个范例。一些问题运用反证法后就显得非常简单，还有一些问题只能用反证法来解决，因此反证法是学生必须掌握的一种数学方法。反证法的思想在其他学科和其他领域也有着广泛的应用，应该重视。

逆向思维是与传统的思维相反的一种思维,许多学生往往不习惯于反向思考,所以我们在教学中应该有意识引导和培养学生的逆向思维意识和习惯,帮助学生从单纯的使用正向思维过渡到学会使用逆向的思维方法,并学会正逆结合的综合思维方式,克服单向思维定式导致的思维刻板,从而提高学生的数学思维能力.

夜上海论坛 在学习数学概念时,也可以启用逆向思维,例如:学习倒数概念时,既要提出:2的倒数是什么?还要提出1/5是什么数的倒数?-3和什么数互为倒数等等问题,这样可以多角度地理解倒数的概念,从而也有助于学通倒数的所有问题. 重视定义的再认与逆用，加深对定义内涵的认识。许多数学问题实质上是要求学生能对定义进行再认或逆用。在教学实践中，有的学生能把书上的定义背得滚瓜烂熟，但当改变一下定义的叙述方式或通过一个具体的问题来表述时，学生就不知所措了。因此在教学中应加强这方面的训练。逆用定义思考问题，往往能挖掘题中的隐蔽条件，使问题迎刃而解。指数函数与对数函数、函数与反函数等都是互逆的定义，互逆定义之间有着天然的联系，教学中要着重使学生理解怎样从一个定义导出另一个与它互逆的定义，向学生灌输转化的思想，揭示定义间相互联系，这样会更好地理解和运用定义。

夜上海论坛 另外在学习几何的定理,公里时,也要注意逆向思维的训练.例如:学习了对顶角相等后,可以提出问题,如果∠1和∠2是对顶角,那么它们相等吗?反过来,如果∠1=∠2,那么它们是对顶角吗?也可以直接给出定理对顶角相等的逆命题：相等的角是对顶角。让学生判断正误,这种训练学生正反两方面的思维方式,有助于学生更好地解决问题.数学中有许多可逆定理、性质和法则，恰当地运用这些可逆定理、性质和法则，可达到使学生将所学知识融会贯通的目的。让学生学会构作已知命题的逆命题与否命题，掌握可逆定理、性质和法则的互逆表述。交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；同时否定命题的条件和结论，所得的命题是否命题。掌握互逆命题和互否命题都不是等价命题，而互为逆否关系的命题是等价命题。学生搞清四种命题间的关系，不仅能掌握可逆的互逆定理、性质、法则，而且能增强思维的严谨性和灵活性，培养创造性思维能力,也是科学发现的途径之一。所以教师在教学中要适时用一定的时间、适当的加强学生这方面的练习，打好基础。

夜上海论坛 培养逆向思维的能力还有一种形式,就是给出结论,要求写出相应的条件.例如: ∠1和∠2是邻角,当∠1是什么角时,(1) ∠1>∠2;(2) ∠1=∠2;(3) ∠1

除此之外，逆向思维会使你在多种解决问题的方法中获得最佳方法和途径。例如：有100名选手参加摔交比赛，如果用单循环淘汰赛制，问要产生冠军需要多少场比赛？这道题用正向思维的方法可以做，方法是：两个选手一组进行第一轮比赛，要比50场；得胜50人进入第二轮比赛，两人一组，要比25场；得胜25人进入第三轮比赛，还需要12场；得胜12人与轮空一人进入第四轮比赛，还需6场；如此进行下去……共需要50＋25＋12＋6＋3＋2＋1=99场比赛。若采用逆向思维法来分析这个问题，因为每场比赛都要产生一个失败者，而每个人都只能失败一次，所以比赛的场数与失败的人数相等，又因为100个人冠军只有一个，所以必定会有99个失败者，所以要进行99场比赛。由此可见，采用逆向思维的方法解决这个问题显得更加简洁明了。