微分方程在化学中的应用范文
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第1篇
夜上海论坛 （郑州工业应用技术学院，河南 郑州 451150）
摘 要：微分方程的研究对于数学、物理等各方面的研究都具有重要意义.微分方程的应用在我们日常生活中常常会存在，其应用范围具有相关的广泛性.通过对微分方程的研究可以使我们更好的了解生活中的动态变量问题，从而使我们能够实现动态角度的分析，将生活研究更加真实化准确化.一类微分方程是微分方程中形式较为简单的方程结构，对一类微分方程的解及解的导数进行研究，对我们学习微分方程具有重要作用.本文通过对一类微分方程的求解和一类微分方程解的导数的角度，探讨一类微分方程的解及其解的导数与不动点的关系，从而帮助我们更好地进行微分方程的学习.
关键词 ：一类微分方程；方程解；解的导数；不动点
中图分类号：O175.8 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2015）05-0001-03
微分方程作为数学学科的分支，在现实生活中的应用十分广泛.微分方程知识在物理学中的许多变量问题的求解中均有涉及，在化学中的动态变化中也有运用.此外，微分方程还广泛地应用夜上海论坛于工程学、经济学等诸多方面.一类微分方程是形式相对简单的微分方程，通过对一类微分方程进行研究，可以更好地帮助我们进行多元微分方程的研究，强化我们的数学基础.同时也有助于相应物理学、化学、工程学等学科问题的研究和解决.因此，对一类微分方程的相关特性进行研究具有重要意义，是实现各领域研究的基础.
夜上海论坛 1 微分方程的相关基本定义
微分方程指的是由未知函数的导数与自变量之间形成的方程等式.微分方程的解是使微分方程等式两边成立的函数.微分方程具有十分广泛的应用，在物理学中许多涉及到动态的变化量的研究常用到微分方程.包括涉及到变力的动力学和运动学等，例如受到空气阻力的落体运动都可以利用微分方程进行求解.
夜上海论坛 当未知函数是一元函数时，未知函数导数与自变量之间的关系等式即为一类微分方程，也称常微分方程.当未知函数为多元函数时，未知函数导数与自变量之间的关系等式称为偏微分方程.微分方程的数学模型如图1.
夜上海论坛 2 一类微分方程的解与不动点
假设某一类微分方程形式为M(x,y)dx+N(x,y)dy=0，且M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的左边部分即M(x,y)dx+N(x,y)dy为某个二元函数T(x,y)的全微分，则可以得到dT(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy.其中M(x,y)dx+N(x,y)dy=0为全微分方程，二元函数T(x,y)为该全微分方程的原函数.
如果T(x,y)是dT(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy的一个原函数，则对全微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0进行通积分，可得到全微分的通积分T(x,y)=A，其中A为任意的常数[1].
夜上海论坛 如果F（x）≠T（x）Pk（x）＋1，其中Pk（x）是任意次数为k的多项式,则对于方程非零亚纯解f（x）的k－1阶导数f（k-1）（x）有无穷多个不动点，且τ（f（k－1））＝σ（f）＝＋∞和τ2（f（k－1））＝σ2（f）＝σ至多有一个例外解f（x）.
夜上海论坛 通过对微分方程进行方程假设和穷级转换，在非零亚纯函数的变化下，通过极点等数据方程转化，构建微分方程的等式典型乘积或通过多项式建立，对方程等式进行数学归纳.在对数测度为有限的集合条件中，通过范围假设，引理带入运算，建立相应的解集表达式.通过微分方程的解集表达式，进行方程式的解集求导，获取一类微分方程的解的一阶导数.对解集等式和解集一阶导数式进行变形，并代入上述引理等式中，通过变形转化和数据假设推断，从而得到不动点的关系等式.
5 结束语
综上所述，通过对一类微分方程进行求解和解的导数与不动点之间的关系研究，指出受微分方程的制约影响，一类微分方程的不动点密度与解和解的导数情况有着密切的关系.对一类微分方程的解进行分析以及解的导数情况进行分析，从而分析一类微分方程解与解的导数与微分方程不动点之间的关系，从而更好地帮助我们进行微分方程的学习以及高阶层微分方程的研究，从而将微分方程的数学知识应用到更多的领域，帮助各领域研究人员进行动态量的研究，从而提高各领域的应用水平的发展以及社会技术的发展和提高.目前，我们对于一类微分方程的解与解的导数和微分方程不动点之间的关系研究还不深入，因此希望后期更多研究者对微分方程进行更加深入的探讨和研究.
参考文献：
夜上海论坛 〔1〕金瑾,石宁生.一类微分方程的解及其解的导数与不动点的关系[J].数学的实践与认识,2011,41(22):185-190.
夜上海论坛 〔2〕石东洋,刘玉晓.一类微分方程的非协调元超逼近性分析[J].河南师范大学学报（自然科学版）,2010,38(3):175-178.
夜上海论坛 〔3〕梁霄,翟延慧.经济系统中一类微分方程模型的Hopf分支[J].伊犁师范学院学报（自然科学版）,2012,10(4):8-12.
夜上海论坛 〔4〕何力争.一类微分方程的特解问题[J].科学技术与工程,2010,10(6):1484-1485.
〔5〕姚慧丽,卜宪江,宋晓秋等.一类微分方程的指数增长的温和渐近概自守解[J].哈尔滨理工大学学报,2014,19(5):23-26.
夜上海论坛 〔6〕王鹏珍.一类微分方程适度解的存在性[J].科技信息,2013,11(18):503-504.
第2篇
夜上海论坛 关键词：多媒体教学 常微分方程 Maple Matlab Mathematica
夜上海论坛 中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1007-3973（2012）012-159-02
近年来，多媒体教学在高等数学教学中得到了广泛应用，成为了高等数学教学必不可少的辅助教学手段。常微分方程作为高等数学的重要课程，长期以来沿袭着传统的教学模式，使得教师尽管在教学重点与难点上耗费了许多精力。
1多媒体教学在常微分方程教学中的优势
通常情况下，在常微分方程的课堂教学中主要都是以给出方程的解法为主，这里所指方程解一般都是解析解，但是由于很多方程都没有解析解法，故此只能给出相应的定性理论分析。由于常微分方程本身的抽象性，使其方程解所对应的积分曲线显得过于抽象，这为学生进一步了解与之相关的概念增添了一定的难度。若是能够在课堂教学的过程中，采用一些直观形象的图形，则可以使学生对常微分方程的解以及与之相关的概念了解的更加透彻，这有利于提高教学效果和教学质量。然而，在大多数院校中，常微分方程的教学始终都沿袭着一块黑板、一只粉笔的教学模式，在这种教学模式下，学生对于一些难以理解的概念和图形常常会束手无策，这在一定程度上打消了学生的学习积极性和主动性，教学效果不尽人意。为此，必须打破这种传统的教学模式，多媒体教学的出现为解决这一问题提供了有利条件，其在常微分方程教学中的优势具体体现在以下方面：（1）教学信息量得以显著增加，进而使课堂教学效率大幅度提高。多媒体教学手段在常微分方程教学中的应用，可以使教师将更多的时间和精力花在双边教学活动中，这无形中增大了信息的传递量，有助于拓宽学生的知识面，使其能够在课堂上学到更多的知识；（2）有效地增强了教学的生动性和直观性，大幅度提高了学生的学习兴趣。多媒体教学课件能够将图形、文字和声音有机地融为一体，使原本抽象的问题，变得直观、形象，这样学生对课堂教学的内容更容易理解和掌握，并且也有利于激发学生的学习兴趣。
夜上海论坛 2多媒体教学在常微分方程教学中的具体应用
2.1 Maple在常微分方程教学中的应用
Maple是一款可用于进行数值计算和图形处理的数学软件，该软件具有极其强大的功能，如计算、绘图和仿真等等。可以通过Maple软件来研究常微分方程的数值解法，并以其强大的绘图功能来演示几何特征较为明显的概念，如奇解等等。这有助于学生更加深入地了解并掌握常微分方程求解的方法。教师以这种形象生动的教学方式更容易吸引学生的注意力，便于学生对常微分方程理论知识的了解和掌握，而且还可以将理论与实践有机地结合到一起，使原本抽象的课程变得生动形象，学习难度大幅度降低，教学效果和教学质量得以显著提高。高校在常微分方程的教学中，几乎都是先学习一阶常微分方程的解题方法，而初等积分法则是最为常用的方法之一。虽然初等积分法可以求出常微分方程的解，但是却并不能求出常微分方程全部的解，而且想要通过求积分将方程的解以函数的形式表示出来也是很难实现的，这对于初次接触常微分方程的学生而言，很难真正理解其中的一些概念，如积分曲线、方向场以及等倾线等等。而借助Maple软件则能够有效地解决无法用初等积分法求解的常微分方程。
夜上海论坛 例1 ：求=x+y这一常微分方程的通解。运用Maple软件的解题步骤如下：
首先键入 这一命令；
夜上海论坛 然后再键入 。
夜上海论坛 由以上操作便可以得到一个含有常数项CI的通解，若是给该解制定一个特定的值，则可获得特解。如果初始值y（0）=2，那么Maple的命令为：
；
夜上海论坛 最终得出的结果为 。
要是还需要画出该方程的解，则可在Maple中键入以下命令：
；
其结果为 ；
再通过 这一命令便可以获得常微分方程解的图形。
2.2 Matlab在常微分方程教学中的应用
Matlab是一种应用于计算数值和处理图形的数学软件，它构建了一个简单便捷的交互式工作环境，将计算、程序设计和可视化集于一体，具备设计应用程序、符号运算、原型开发、工程计算、数据分析及可视化、算法研究、工程绘图等诸多功能。Matlab内提供了有利于求解高等数学问题的命令，如求解积分、导数、常微分方程（组）解、微分的命令，以及有利于绘制多种二维、三维图形的绘图命令。所以，Matlab已经成为部分高等应用数学课程实施多媒体辅助教学的有效工具。在常微分方程教学中，教师可以应用Matlab讲解常微分方程的数值解法，也可以利用绘图命令对某些概念的几何特征进行演示。如，将Matlab应用于奇解的几何意义解释中。
夜上海论坛 例2：数值试验二方程 的通解为 ，奇解为 。为了准确解释该奇解的几何意义，可在对c选取特殊值的基础上，利用Matlab代码绘制积分曲线族和奇解的曲线。
2.3 Mathematica在常微分方程教学中的应用
夜上海论坛 目前，Mathematica是全球应用最为广泛的一种符号计算系统，它具备多种功能，如符号与数值运算、动画制作以及绘制数学图形等等，该系统以其自身强大的功能被广泛应用于航空航天、机械制造、数学、化学、物理以及社会学等诸多学科领域当中。就常微分方程而言，其属于较为抽象的一门课程，由于这门课程本身的抽象性，给教学增添了一定的难度，如何进一步提高该课程的教学质量，一直是教师们努力的方向。Mathematica软件在该课程中的应用使诸多教学难点迎刃而解，如借助该软件的数值计算和绘图功能，可以让学生进一步了解某些常微分方程的性态，并且还可以运用该软件的符号计算功能直接对常微分方程进行求解。此外，利用计算机和相关的数学软件还可以进行常微分方程实验，这样一来，学生既能动手操作，又能动脑思考，有效地激发了他们的学习兴趣，进而促进了学生独立思考和综合应用能力的提高。下面简要介绍Mathematica软件在方向场、积分曲线与微分方程的近似解中应用。在=f（x，y）这一微分方程中，其积分曲线是始终顺着线素场行进的曲线，由此可知，每一个点都会与线素场相切。如果在方程不可积的情况下，那么便可以按照线素场的实际走向来求出最为近似的积分曲线，并且还可以按照线素场自身的性质来对微分方程解的性质进行研究，在这一过程中，并不需要提前求出方程的解，该解题思路完全符合定性理论和近似解法的思想。然而，在实际解题过程中，由于方向场的图形比较复杂，若是采用手工制图的方法不仅费时、费力，而且还很难得出规范的图形。而借助Mathematica软件来辅助教学便可以使该问题迎刃而解。
夜上海论坛 例3：在求微分方程 的方向场时，便可运用Mathematica软件来完成，具体步骤如下：
打开Mathematica后，输入
运行后便可获得图2。
夜上海论坛 3多媒体教学在常微分方程教学中应注意的问题
将多媒体教学应用于常微分方程教学中，转变了“黑板+粉笔”的传统教学模式，在提高常微分方程教学效率方面发挥着不可替代的作用。但是，教师在运用多媒体辅助教学技术的同时，也应当处理好教学中容易出现的几个问题，正确看待多媒体教学的利弊关系。
夜上海论坛 3.1处理好教学内容与教学时限的关系
夜上海论坛 常微分方程课程具备内容丰富、信息量大的特点，在教学过程中，不仅要确保教学内容符合学生的认知规律，使学生能够理解知识、应用知识，还应当在运用多媒体教学手段的基础上，充分利用有限的教学时间讲清教学重点和难点，保证教学内容与课件的有效衔接，力求在教学时限内帮助学生掌握学习重点与难点。
3.2处理好知识传授量与知识吸收量的关系
多媒体教学可以最大限度地扩充教学信息量，使教师在节省黑板板书时间的情况下讲授更多的内容。但是，教师若不能很好地控制多媒体教学节奏，则会让学生思维滞后于教学节奏的变化，使得知识吸收量远远小于知识传授量。因此，教师应当把握好多媒体教学的合理停顿，给予学生充足的记笔记时间和思考的时间，并适当结合板书教学，帮助学生理解和掌握教学难点。
夜上海论坛 3.3处理好多媒体教学与传统教学的关系
夜上海论坛 随着计算机在我国各大院校的普及应用，为多媒体教学提供了一个良好的平台。虽然多媒体教学有着传统教学方法无可比拟的优越性，但其也存在一定的局限性。如何处理好多媒体教学与传统教学方法这两者之间的关系，是应用多媒体教学时需要解决的首要问题之一。在传统的常微分方程教学中，应用多媒体教学的最终目的是要将两种教学方法的优点都充分发挥出来，这样才能使课堂教学效果和质量有所提高。在具体应用中，教师应当按照学生反馈回来的意见，对多媒体课件进行修改，并在课堂教学中恰当地将这两种教学方法结合在一起，发挥出各自的优势，扬长避短，进而达到提高教学质量和教学效果的目的。
参考文献：
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夜上海论坛 [3] 李浩荣，窦雯虹，童训化.“常微分方程”课件设计与教学实践[J].高等理科教育，2004（4）.
[4] 闫金亮.Matlab在常微分方程教学中的应用[J].武夷学院学报，2012（2）.
第3篇
关键词：常微分方程；可解类型；成本和利润核算
常微分方程是代数中最简单但是亦是最重要的一类方程组，常微分方程是我们在解决日常经济生活问题中非常重要的工具，常微分方程的作用也非常之多，比如在航天领域、自动化领域、电子通信领域、化学反应研究领域等，科学前沿的方方面面都需要用到常微分方程来解决研究中的问题。许多难解的问题，解法中的式子最后都能化成常微分方程，所以常微分方程对于计算数学是极其重要的。遇到问题时，我们需要在已知条件中找出已知数和未知数的关系，并利用已知的关系列出方程，然后进行求解，逐步推出我们需要的未知数的值。
常微分方程式在经济学中的最重要的应用是其在公司成本与利润核算中的应用，成本与利润的常微分方程虽然简单易懂，但是其突破了传统的计算能力，运用计算机的运算能力，在短时间内可以完成人力几天甚至几个月的工作量，是现代科技力量对商业最大的贡献之一。可以说这一方程式在计算机中的运用是商业核算精准化和便捷化的最大保证，带来了现代商业会计核算、审计核算的革命。
数学知识运用到商业是古已有之，但是微分方程在商业计算中的应用，只能计算到资本市场的完全兴起，我们了解的最著名的例子莫过于电《大空头》里几位银行家合作做空资本市场的举动，虽然电影演绎的精彩绝伦，妙趣横生，但是现实中的事实远比电影来的精彩。2007年-2008年之前，john Paulson作为一个籍籍无名的对冲基金经理人，与华尔街精英圈无缘。在他四十岁的时候成立自己的基金公司，经过十年的默默打拼，2003资产规模才达到15亿美元，这在精英云集的华尔街连二流都算不上，当然这是他还没遇上他的同学Paolo Pellegrini之前，2004年10月，两人才正式合伙，虽然Paulson当时只给了Pellegrini一个初级分析师的职位，但是对于毕业于哈佛大学的Pellegrini来说这已经足够了。当第一次Pellegrini向Paulson建议用CDS工具做空美国房地产时，相信Paulson也是惊诧不已的，但是Pellegrini在大量基础研究的基础上，通过大量的模拟计算，说服了自己的老同学同时也是自己雇主的Paulson，Pellegrini向Paulson展示的美国房地产走势图，像一张藏宝图一样展示在他的面前，让他看到了做空美国房地产的美好前景和巨额利润收入。
没有微分方程的大规模运算和Pellegrini精准的分析头脑，把一张市场走势图摆在任何人的面前，他们都无法看到里面蕴藏的巨大财富。Pellegrini作出那张美国房地产走势图被誉为价值“200亿美金”，可想而知。
后来，在现实生活的应用中，人们又发现，往往解决问题并不需要求出通解或者特解，而是需要知道方程组在什么情况下会出现什么类型的解，就能满足一些生产生活的需要了。比如，给定一个方程，我们需要知道该方程在什么情况下存在解，什么情况下不存在解；或者，在给定方程的前提下，能够知道在什么条件下能求出几组通解，而哪些通解是对于我们求出所需特解有价值、有作用的。往往我们现在关注的多是这样的问题，而不仅仅限于寻找微分方程的解上。常微分方程的作用非常之多，比如在航天领域、自动化领域、电子通信领域、化学反应研究领域等，科学前沿的方方面面都需要用到常微分方程来解决研究中的问题。研究常微分方程的新的可解类型，是帮助我们在各个学科中，处理难题，突破难关的重要途径。所以我们需要对常微分方程的新的可解类型进行更深的研究，通过对方程组的解析来促进各个学科的蓬勃发展。
夜上海论坛 在经济学领域中，分租制和定额制在现代商业公司管理中作为两种最基本的管理模式的根本，受到各种研究者的青睐，要想分清这两种模式那个更加实用高效，必须用到常微分方程的计算方式，这也是数学对现代经济学的巨大贡献之一，计算出了分租制和定额制的优劣之后，现代公司才可以在此基础上选择适合本身的管理模式，才会衍生出现代意义上的国有公司，股份制公司，人公司和有限责任公司等各种形式，让我们明白了商业市场的运行子单位是怎样的构成部分。
夜上海论坛 许多微分方程要求求出方程的近似解，并且保证一定范围内的精确度就可以，人类的科技在不断发展，所需要的精确度也会越来越高，而随着数学学科的进步，能够求出的精确度也会越来越高，才能适应其他学科对于数学手段的需求。寻找常微分方程的新的可解类型是研究微分方程的科学家们、数学家们一直努力的目标。目前，已知的可解类型并不多，在变化众多的方程组中，目前已知的可解类型相比之下，还是屈指可数的，还需要通过大量的研究才能判断和解决其他的可解类型的常微分方程。
结束语：微分方程就是指未知数以导数的形式与已知数产生关系，也就是说，在微分方程中未知数是以导数形式存在的。这样的方程的求解过程可能非常复杂，对于求解的方法要求比较特殊。我们就可以利用微积分的知识求出一些微分方程的近似解。常微分方程的作用非常之多，是我们在解决日常经济生活问题中常用的一种手段。常微分方程的运用在的帮助下经济领域中取得了很大的进步，是企业的很多工作变得简单、清晰，在常微分方程的帮助下人们对经济规律认识精确度有了很大提高。尤其是近年，常微分方程在生活，经济领域的运用也越来越多。常微分方程作为辅助手段，让管理科学和经济科学的研究做到了简洁和精确。著名的数学家华罗庚先生就是将经济数学理论与生产实践活动很好结合的典范。数学方法，特别是常微分方程进入入经济科学的领域，成为了研究和分析社会经济现象与社会经济发展的有力工具。
夜上海论坛 （作者单位：沈阳师范大学）
参考文献：
[1] 一类新非线性常微分方程的可积判据-汤光宋，潘小群-《Academic Forum of Nan Du：naturalences Edition》-2001；
