平行四边形面积教案范文

夜上海论坛前言：我们精心挑选了数篇优质平行四边形面积教案文章，供您阅读参考。期待这些文章能为您带来启发，助您在写作的道路上更上一层楼。

第1篇

1、让学生知道平行四边形面积夜上海论坛公式的推导过程，以平行四边形与长方形关系为基础，引导学生通过动手操作和观察、比较，掌握平行四边形面积的计算公式，并能应用公式正确地计算平行四边形面积或是解决一些简单的实际问题。

夜上海论坛 2、培养学生想象力、创造力，及用转化的方法解决新的问题的能力。

夜上海论坛 3、培养学生自主学习的能力。

4、使学生初步感受到事物是相互联系的，在一定条件下可以相互转化。

夜上海论坛 二、教学重点：平行四边形面积的计算公式的推导及计算。

三、教学难点：平行四边形面积计算公式的推导过程。

四、教学用具：长方形、平行四边形硬纸片、剪刀、直尺

教学过程：

一、引出主题：

夜上海论坛 师：大家知不知道我们学校正在将操场隔壁的地方改造为校园一角，专门留出两个空地作为我们同学们的学农小基地（在黑板上贴出两个图案，一块是长方形——甲地，一块是平行四边形——乙地）。下面我们就看一下这两块空地是什么形状的？学校啊，又决定将甲地分给四年级，乙地分给五年级负责除草，那么大家知道哪一个年级负责地方要大一点呢？

夜上海论坛 师：现在我们先看一下甲地。我们要求这块长方形地的面积，只要量出什么啊？

生：长方形的长和宽（点出长、宽）。

师：现在老师已经量出来长15米、宽10米，那么它的面积是什么？

夜上海论坛 生：（计算）150平方米。（要求学生回忆起长方形的面积公式，并运用公式计算出这个长方形的面积。）（板书：长方形面积公式）

师：同学们现在都能很熟练地计算出长方形的面积啦!那么，这块平行四边形地的面积是多少啊？我们该怎样计算呢？这就是今天我们要一起探讨的问题啦!（板书：平行四边形的面积）

夜上海论坛 二、动手操作（得出公式）：

师：以前我们是用面积器量数出长方形有多少个小格子或是得出长方形的长和宽来用面积公式来算出了长方形的面积。那我们可不可以运用以前的知识或是我们的经验，想出计算这个平行四边形的面积的方法呢？有哪位同学已经想到办法来？

生：用剪刀沿着平行四边形的高剪，再拼成长方形，再用尺子量出底（长）18厘米，高（宽）10厘米。面积是180平方厘米。（让学生把操作展示给全班同学看）

师：这位同学很聪明，他是沿着高来剪，再拼成一个长方形。那老师现在再问你一个问题，你为什么要剪拼成长方形？

夜上海论坛 生：因为长方形的长和宽与原来平行四边形的底和高相等，而长方形面积我们会求。

三、得出结论：

夜上海论坛 师：沿着这条垂线把平行四边形剪成了一个三角形和一个梯形，把三角形移到梯形的一边，就变成了长方形。拼成的长方形的长与平行四边形的底相等，宽与平行四边形的高相等。因为长方形面积=长×宽（板书），所以我们推导出平行四边形面积=底×高（板书）。我们称这种方法为“割补法”（板书）。如果我们用s来表示平行四边形的面积，a来表示平行四边形的底，h来表示平行四边形的高，你能自己写出平行四边形的字母公式吗？

生：s=a×h

师：我们还可以将这条公式缩写为：s=a·h或者是s=ah。

四、巩固提高：

练习：一块平行四边形钢板，底为4.8厘米，高为3.5厘米。

它的面积是多少？（结果保留整数。）

解答：4.8×3.5=16.8（平方厘米）≈17（平方厘米）

第2篇

平行四边形的面积（1）P64-65

例1、例2

课型

新授课

教学

目标

夜上海论坛 1、利用割补、拼摆等方法，探索并掌握平行四边形面积的计算方法。

夜上海论坛 2、会计算平行四边形的面积。

夜上海论坛 3、在平行四边形面积计算方法的探索过程中，感悟“化归”的数学思想，并获得成功体验。

教学重点

夜上海论坛 掌握平行四边形的面积计算公式。

教学难点

理解平行四边形面积公式的推导过程。

评价关注点

学习兴趣：活动兴趣；学习习惯：操作习惯

；学业成果：简单应用

夜上海论坛 教学技术与学习资源应用：

平行四边形纸片、平行四边形模型、多媒体课件

教学

环节

目标指向

师生活动

评价

关注点

一、复习导入

认识平行四边形；知道平行四边形的基本特征；理解平行四边形与长方形、正方形之间的关系。

1．说一说下面各是哪些图形?

夜上海论坛 2．我们最近研究的是哪些图形？（长方形、正方形、平行四边形）

3．请同学们回忆一下，长方形的面积是怎样计算的?

4.

揭题：那么平行四边形的面积怎样求呢？今天我们就一起来研究平行四边形的面积。

夜上海论坛 能有针对性、清晰有效地运用相关的数学语言表达与交流。

夜上海论坛 二、探究新知

利用割补、拼摆等方法，探索并掌握平行四边形面积的计算方法。

夜上海论坛 经历面积的推导过程，具有一定的猜想能力和实际操作能力。

会计算平行四边形的面积。

夜上海论坛 在平行四边形面积计算方法的探索过程中，感悟“化归”的数学思想，并获得成功体验。

（一）猜测

1、首先我们通过数格子来看看这个长方形的面积是多少？并在课堂练习本上记录。

夜上海论坛 2、还是通过数格子来看看这个平行四边形的面积是多少？也做好记录。

夜上海论坛 3、比较两次记录结果，你发现了什么？（长方形的面积和平行四边形的面积相等）

夜上海论坛 4、比较这两个图形，你还发现了什么？（长和底，宽和高相等）

4、根据这个发现，你觉得平行四边形的面积可以怎样求？（平行四边形的面积=底×高）

（二）推导

通过刚才的学习，我们初步了解到用平行四边形的底乘以对应边上的高求面积的方法是正确的，怎样推导平行四边形面积的公式呢?现在做个实验:把平行四边形剪一刀，拼成一个长方形。想不想试一试?

1．(学生操作后)提问：

夜上海论坛 ①你是沿着哪条线把平行四边形剪开的?

②剪开后，你是怎样拼成长方形的?(边回答边演示)

夜上海论坛 2．学生操作后教师提问：

平行四边形转化成长方形后，什么变了?什么没变?长方形的长与平行四边形的底有什么关系?长方形的宽与平行四边形的高有什么关系?根据这些条件，你能推导出平行四边形的面积计算公式吗?(形成完整的板书)

长方形面积

=

长×宽

平行四边形面积=

底×高

夜上海论坛 3．用字母表示平行四边形面积公式。S=ah

（三）应用

夜上海论坛 1．根据公式，说说要想求出平行四边形面积必须知道哪两个条件?

填表

2.判断题

(1)

两个平行四边形的高相等，它们的面积就相等。

(

)

(2)

两个平行四边形的面积相等，它们的底和高不一定相等。

(

)

夜上海论坛 3．求下面平行四边形的面积。

正确明白操作要求，能够主动利用提供的材料进行操作，并且边操作边认真记录。

认识平行四边形；知道平行四边形的基本特征。

理解平行四边形面积公式的推导过程，并能正确地计算平行四边形的面积。

通过观察、操作、验证等活动，亲历探索平行四边形特征的过程，发展空间观念，增强应用数学的意识。

经历动手操作、探索、发现的过程，并在此过程中体验成功的喜悦。

夜上海论坛 对解决问题有充足信心，能主动思考、积极作答。

夜上海论坛 独立完成课堂练习，并且正确率高。

三、巩固练习

在平行四边形面积计算方法的探索过程中，感悟“化归”的数学思想，并获得成功体验。

夜上海论坛 1、一块近似平行四边形的地，面积是24平方米，底是6米，求这块地底边上的高是多少米？

2、选择合适的条件计算面积。

合作学习的意愿强烈，积极参加小组活动。

在学习过程遇到困难，能积极寻求同伴合作，解决问题。

感受图形与日常生活的联系，体会平行四边形在生活中的应用，初步了解数学的价值。

四、总结：

师：今天我们学习了什么本领？（平行四边形的面积）让我们知道了平行四边形的面积公式如何推导，如何运用公式解决实际问题的。你对你今天的学习评价如何？

板

书

设

计

夜上海论坛 平行四边形的面积

解：S=ah

=5×2.5

=12.5（㎡）

答：这个平行四边形停车位的面积是12.5㎡。

平行四边形的面积=

底×高

S

=

a

h

夜上海论坛 长方形的面积=

长×宽

转化

书面作业设计

校本练习册

教学反思

课题

夜上海论坛 平行四边形的面积（2）P65

试一试

课型

练习课

教学

目标

1、会计算平行四边形的面积。

夜上海论坛 2、初步学会利用平行四边形的面积公式求有关数据。

夜上海论坛 3、能根据平行四边形的面积和底（高），正确地求高（底）。会应用平行四边形的面积计算公式解决简单实际问题。

4、经历观察图形、分析数据的学习过程，寻找必要条件计算相应数据。

5、初步形成仔细观察图形、认真计算的良好学习习惯。

教学重点

夜上海论坛 掌握平行四边形的面积计算公式。用公式正确地计算平行四边形的面积，解决，解决生活中的实际问题。

教学难点

根据题意灵活仔细地整理数据计算面积以及对同底等高的平行四边形的分析理解。

评价关注点

夜上海论坛 学习兴趣：活动兴趣；学习习惯：操作习惯

；学业成果：简单应用

夜上海论坛 教学技术与学习资源应用：

平行四边形纸片、多媒体课件

教学

环节

目标指向

师生活动

评价

关注点

一、基本练习

夜上海论坛 能用公式正确地计算平行四边形的面积，解决生活中的实际问题。

夜上海论坛 能根据平行四边形的面积和底（高），正确地求高（底）。会应用平行四边形的面积计算公式解决简单实际问题。

1、求下面平行四边形的面积（单位：CM）

（1）

（2）

（3）

师：逐题统计做对的人数，第（3）题，你为什么要用20×10来计算？

生：平行四边形的形外高是10CM，对应的边是20厘米，所以我用20×10求情形四边形的面积（两三人说）

夜上海论坛 2、求下面平行四边形的面积

（1）

夜上海论坛 平行四边形的底是2分米，高是8厘米，它的面积是多少平方分米？

（2）

夜上海论坛 平行四边形的高是50厘米，比底长10厘米，求他的面积

（3）

夜上海论坛 第65页的第3题

师：第（1）题要注意什么，他的面积是多少平方分米？

生：第（1）要注意把8厘米化为0.8分米，他的面积是1.6平方分米。

师：第（2）题的底是几厘米，他的面积是多少？

生：第（2）题的底是40厘米，他的面积是2000平方厘米。

生：我先算草坪的面积，再算铺平共需多少元，算式是24×31×47（两三人说）

夜上海论坛 师：逐题统计做对的人数

小结：我们已经学会了用公式计算平行四边形的面积，并能解决了平行四边形面积相关的实际问题。

夜上海论坛 理解平行四边形面积公式的推导过程，并能正确地计算平行四边形的面积。

经历观察图形、分析数据的学习过程，寻找必要条件计算相应数据。

夜上海论坛 二、变式练习

夜上海论坛 初步学会利用平行四边形的面积公式求有关数据。

能根据平行四边形的面积和底（高）正确地求高（底）

经历观察图形、分析数据的学习过程，寻找必要条件计算相应数据。

师：大家把书翻到65页，做第2题

1、师：展示学生练习，全对的举手，在平行四边形中，怎样求高，怎样求底的长度

夜上海论坛 生：底边=平行四边形的面积÷高

高=平行四边形面积÷底（两三人说）

小结：在平行四边形中：S=ah

h=S÷a

夜上海论坛 a=S÷h大家要熟记三个数量关系。

2、用平行四边形的是指解决下面的问题，

（1）S平50CM2

求C平

（2）C平=70CM，求S

师：第（1）题要求平行四边形的周长平行四边形的边有什么特征？

生：平行四边形的特征是相等的

夜上海论坛 师：已经知道了一条边是25厘米，要先求什么，才能求他的周长？

生：先求他的另一条边长才能求他的周长

师：大家做这两题

夜上海论坛 解：500÷20=30CM（底）

解：70÷2-25=10CM(底)

（30+25）×2=110CM（周长）

夜上海论坛 10×20=200CM2（面积）

师：第（1）题做对的举手，第（2）题做对的举手

小结：我们要运用平行四边形边的特征，平行四边形面积计算公式解决相关的问题，既发展了我们的思维又提高了解决问题的能力

3、独立练习

（1）

夜上海论坛 平行四边形的面积是10平方分米，他的底是2.5分米，高是几分米？

（2）

平行四边形的底是10分米，是高的2.5倍，他的面积是多少平方分米？

（3）

平行四边形两条相邻的边分别是30米和20米，在它的四周每隔5米种1棵树，共要种几棵树

（4）

夜上海论坛 平行四边形的周长是60厘米，底是20厘米，另一条边上的高是15厘米，求平行四边形的面积。

夜上海论坛 师：第（1）题做多的举手，第（2）题做对的举手用10÷2.5=4，先求出高，

师：第（3）题先求周长，再求种几棵树，做对的举手

师：第（4）看图，先要用60÷2-20=10求出另一条边的长度，再用20×10求出他的面积

做对的举手。

夜上海论坛 对解决问题有充足信心，能主动思考、积极作答。

独立完成课堂练习，并且正确率高。

合作学习的意愿强烈，积极参加小组活动。

在学习过程遇到困难，能积极寻求同伴合作，解决问题。

感受图形与日常生活的联系，体会平行四边形在生活中的应用，初步了解数学的价值

三、总结

夜上海论坛 初步形成仔细观察图形、认真计算的良好学习习惯。

拓展：

夜上海论坛 比较平行线间两个平行四边形的面积。

师：今天我们学习了什么本领？（平行四边形的面积）让我们知道了如何运用公式解决实际问题的。你对你今天的学习评价如何？

对解决问题有充足信心，能主动思考、乐于探究、积极作答。

板

书

设

计

平行四边形面积

S=ah,

a=S÷h

h=S÷a

夜上海论坛 周长=邻边长度的和×2

夜上海论坛 边长=周长÷2-另一条边长

书面作业设计

第3篇

教学目标：

夜上海论坛 1、理解、掌握平行四边形面积的计算公式形成过程，能正确计算平行四边形的面积。

2、通过画一画、剪一剪、拼一拼等活动，经历平行四边形面积计算的推导，体验转化的数学思想和方法。

3、在探究和尝试过程中培养学生分析、综合、抽象、概括的能力。

教学重点：理解并掌握平行四边形面积计算的方法。

教学难点：理解平行四边形面积公式的推导过程。

教学过程：

夜上海论坛 一、引入

1、出示

2、问：如果我想计算平行四边形的面积，你想知道哪些数据？

二、探究

夜上海论坛 （一）、猜测平行四边形面积计算方法

1、学生猜测

夜上海论坛 2、各自表述理由

3、二次修正猜想

（二）小组合作验证猜想

1、小组借助工具验证猜想

夜上海论坛 2、交流汇报

3、三次修正猜想

4、借助课件进一步理解

（三）自主验证任意一个平行四边形都可以用底×高求面积

（四）得出结论

结：如果用S

夜上海论坛 表示平行四边形的面积，

用a

表示平行四边形的底，

用h

表示平行四边形的高，

平行四边形面积的计算公式是:S＝ah

三、巩固练习

夜上海论坛 1、平行四边形面积如何计算？

夜上海论坛 2、3、你能想办法求出平行四边形的面积吗？（机动）

四、总结

板书：

平行四边形的面积

猜想：

拉动（面积变化）

转化（面积不变）

验证：

第4篇

在实施新课程的过程中，我们经常看到“焕发着生命活力”的好课，但也有的课“形似神离”、“活而欠实”，一部分学生争先恐后地应答，表现得很出众，虽表面上看“一切顺利”、“全班都会”，但一旦出现“节外生枝”，意想不到的事情发生，教师不是漠视就是将其强行拉回来，或匆匆的予以否定，生生的地浇灭学生的火花，凸现出数学课堂教学中“预设”与“生成”的矛盾。

随着课程改革的不断深入，“预设”和“生成”这两个相互对立的概念融入到了我们的教学实践中。“预设”是指紧紧围绕教学目标、任务，预先对课堂环节，教学过程等一系列展望性的设计，“生成”是指实际教学过程的发生、发展与变化。课堂教学不是一个机械执行教案的过程，而是一个动态的、开放的、不断生成的过程，当教学预设与生成表现差异，甚至截然不同时，对教师而言将面临严峻的考验和艰难的抉择——课堂的尴尬与精彩，虚浮与真实。

如何让课堂亲近真实，用生成打造真实，我们必须要思考如何把握学习“预设”与“生成”。首先，预设既要备教材，又要备学生。教学需要预设，高质量的预设是教师发挥主导作用的重要保证，它有利于教师从宏观上、整体上把握教学过程，为了能在课堂上游刃有余，教师的课前预设就要尽量具体些，周密些。

夜上海论坛 那么如何进行高质量的教学预设呢？高质量的教学预设需要精心备教材，更需要备学生。教师课前钻研教材设计教案，本身就是应该的，特别是个性化地设计某个环节，是非常值得提倡的，问题是不能一味地钻研教材而忽视了学生这个主体。新课程标准明确指出：数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础上，这就要求教师在研究教材教法的同时要加强对学生的研究，教师要充分了解学生的认知基础及心理状态。根据学生的现实状况研究预设教学过程。那是一次苍白教学给予的顿悟，前些年上过的一节“平行四边形面积”的计算，其中的片段至今记忆犹新。

夜上海论坛 师：今天我一起来学习怎样计算平行四边形的面积，请同学们拿出老师发给你们的长方形和平行四边形（长方形长5厘米，宽3厘米，平行四边形底5厘米，高3厘米），请同学们想办法比较一下这两个图形的面积哪个大哪个小。

夜上海论坛 （学生开始以小组为单位比较，然后汇报）

夜上海论坛 生1：我把平行四边行沿着它的一条边剪开然后拼到平行四边形的右面，就变成了一个长方形，然后把长方形放在拼成的图形上一比，我发现这两个图开的面积一样大。

夜上海论坛 生2：我把平行四边形沿着它的一条高剪开然后平移到平行四边形的右面就变成了一个长方形，然后把长方形放在拼成的图形一比，我发现这个长方形和平行四边形的面积相等。

夜上海论坛 师：很好，我们今天就来学习平行四边形的面积计算公式。请同学们拿出老师发给你们的学具——一个平行四边形纸板。同学们动一下脑筋，看看可以把平行四边形转化成什么图形。

（学生开始以小组为单位操作，师巡视期间，曾多次询问能把平行四边形转化成什么图形）

接下来学生汇报自己的做法。大致和课的开始相同。我又用课件演示将平行四边形转化为长方形的过程，并强调什么叫平移，然后要求学生按课件演示的过程再做一遍。接下来就是讨论拼成的长方形和原来平行四边形之间的关系，总结面积计算公式。

课后我是这样反思的：我这样设计是想让学生通过数方格的方法比较出长方形和平行四边形的面积是相等的。然后说明，因为数方格求平行四边形的面积比较慢，也不方便，在此基础上激发学生学习平行四边形面积的欲望。谁知，学生并没有数方格，而是通过剪拼，比较的方法得出结论，还有一个学生居然说出了“平移”，觉得自己做的课件不就没用了吗？当时由于自己调控课堂的能力不足，教学机智的欠缺，导致课堂效率事倍功半，如今想想可以就着学生的回答，提出表扬和鼓励，然后，以学生的方法让还没有找到方法的学生试一试，必要时也可用课件，将教学的重点一下子转移到研究图形关系上来。让学生自己分析研究两种图形之间的内在关系，推导出平行四边形面积计算公式。使整个教学过程从有序（预设）到无序（生成），再到有序（采取相应的对策），主要是我们要转变教育观念，认识到课堂教学是一个师生互动、资源共生的过程，正确定位教师和学生的关系，树立以学生为主体的观念，放下“师道尊严”的架子，从讲台上走下来，加强自身的学习，与时俱进，提高自己的业务水平和教学策略，必能应对教学中出现的各种现象。

“动态生成”是新课程标准提倡的一个重要理念。课堂教学应该是师生、生生积极互动、动态生成的过程。传统教学的弊端是教师把教学过程统得过死，把课堂变成自己的“报告厅”，学生是一个个听众，教师提出一个问题，学生往往不敢“造次”，总是先揣摩老师的意图，然后答出老师想要的答案，教学过程成了学生配合老师教的过程。曾多次在公开课时，听老师这样总结：同学们，这堂课上你们都很认真，谢谢你们对老师的配合。课堂是学生配合老师吗？这样不是演戏吗？其实教学过程应该是师生、生生之间不同思考、不同见解交流与碰撞的过程，在这个过程中老师如果视预设如法规一样，一成不变，那么教学就会变得暗淡无光，毫无生机与活力。

第5篇

一、 找准起点，因人施教

苏霍姆林斯基说过：在人的心灵深处都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者，而在儿童的精神世界上，这种需要特别强烈。尽管每次上课前，虽然教师已经作了充分的准备，尽量地去估计课堂上可能出现的情况，总是难免有疏漏的地方。若能倾听学生的发现，把这种发现转化为教学资源，便可收到意想不到的效果。所以，让学生先开口，可以使教师对学生已掌握的知识水平、能力发展水平有一个较清晰的认识，避免超前，防止滞后，根据学生的认可程度决定如何因人分层施教，增强教学的针对性。

二、由此及彼，趁热打铁

夜上海论坛 课堂上，学生常常会有一些很有意思的话，如果教师能够及时抓住这些“话”，巧用这些“话”，灵活地调整教学方案，就会使课堂出现一些让人记忆深刻的闪光点，从而取得出其不意的效果。比如，我在教学“分数的意义”时，先让学生说说怎样写一个分数，并说出这样写的理由。一位学生认为应该先写分数线，再从下往上写，问他理由时他竟然说了这样一句话“没有妈哪来的儿子”，顿时教室里哄堂大笑，而我却鼓励他继续说下去，他说：“分母表示平均分的份数，分子表示所取的份数，先有平均分的份数才能有所取的份数，所以把平均分的份数叫分母，把取的份数叫分子，不就像先有妈后有儿子吗？”话音刚落，教室里已是掌声不断。由此及彼，我马上想到了真假分数，于是趁热打铁，打破教材的课时界限，将下一课时的真假分数提到当前来上，继续引导学生：“那么在分数世界里有没有‘儿子’比‘母亲’大的？”从而形象地得出：“儿子”比“母亲”小的分数是真分数，“儿子”比“母亲”大或相等的分数是假分数。这样灵活机动地处理教材，学生印象深刻，甚至终身难忘，比起冷却之后又另起炉灶的做法，效果要好得多。

三、将错就错，因势利导

夜上海论坛 新知教学时，学生限于自己的知识水平，在思考的过程中出现一些错误想法是很正常的。教师如果从伴随着教学过程中出现的错误想法出发，进行引导点拨，引出正确的想法，得出合乎逻辑的结论，将会收到意想不到的效果。比如，我在教学“平行四边形的面积计算”，首先出示一个长方形，要求学生说出面积计算的方法：长×宽（a×b）。接着我在电脑上将这个长方形拉成一个平行四边形，让学生猜想这个平行四边形的面积怎样计算？由于受负迁移的影响，不少学生认为是两边相乘（a×b）。此时，我就将错就错，进行因势利导：如果是“a×b”，那么长方形和平行四边形的面积应该相等。接着，运用电脑动画将平行四边形移到长方形图上，引导学生比较两个图形是否一样大？经过仔细观察比较，学生就会发现两个图形的面积不一样大，其中阴影部分就是长方形面积比平行四边形面积大的部分，从而明白了“a×b”不是平行四边形的面积。于是，我进一步引导：平行四边形的面积到底怎样计算呢？通过直观图，多数学生都能说出将长方形外的小直角三角形平移进来，将平行四边形转化成长方形来推导它的面积公式，最终得出“平行四边形的面积=底×高”的结论。

夜上海论坛 四、巧用意外，乘胜追思

夜上海论坛 学生是活生生、有思想的人。由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。数学教育家波利亚曾经说过：“学生的尝试越是五花八门，探究活动越是新颖灵活，那么，他们也就是越有可能得到异乎寻常的结果”。当前，随着课程改革的不断推向深入，数学课堂的面貌发生根本性的转变。教学过程成了师生平等相处、真诚交往、共同探究、获取知识的过程。在这样的课堂里，学生的思维不断得到涌现，正是在这种师生、生生之间的互相碰撞中，随时会发生一些教师事先没有预料到的事情，打乱教师的教学思路。那么，我们教师应该如何去面对这些教学中意外呢？有的教师担心出现这样的小插曲，生怕自己处理不好，下不了台，也担心它会使整个教学流程失去应有的严谨和流畅。于是，就对学生的“意外”，轻则视而不见，不予理睬，重则冷嘲热讽、批评指责。这是违背新课程理念的不明智的做法。教学过程应该是师生之间相互沟通，共同合作学习的过程。我们教师要树立以学生为本的意识，善待课堂教学中的意外，耐心等待仔细倾听学生的每一次思维颤动，也许，它会让动态生成更加精彩。因此，在数学课堂上，我们广大教师要善待这些“意外”，用敏锐的眼光去捕捉学生学习过程的“意外”，留给学生足够的思考空间和表达的机会。要知道，源自学生的精彩才是真正的精彩。

五、急中生智，教书育人

第6篇

[案例一]在教学“平行四边形的面积”时，我正按照预设的步骤展开教学，一位学生说道：“我觉得平行四边形面积应该等于底乘高，因为长方形的长和宽是互相垂直的，平行四边形的底和高也是互相垂直的。”虽然该生的结论是对的，但是解释似乎出了“问题”。于是，我既没有肯定也没有否定他的判断，而是让全班学生检验他的猜想。

经过思考、动手操作，有的学生用透明方格片放在平行四边形上摆一摆、数一数，用数方格的方法来求出平行四边形的面积，从而验证这种方法是正确的。

夜上海论坛 也有的学生认为单凭一个例子就下结论，为时尚早，再说并不能都用数方格的方法去验证非常大的平行四边形的面积，这样就太麻烦了。

夜上海论坛 正当学生们冥思苦想的时候，有一个学生提出了质疑：“我们可以沿着高，把平行四边形左边割下一个三角形，补到右边就得到一个长方形，平行四边形与长方形的面积大小相等。”

我肯定了这位学生的想法，学生的积极性又高涨了。通过操作、观察和讨论，学生很快发现：因为长方形的面积等于长乘以宽，所以平行四边形面积就等于底乘以高。

通过对提出的问题的分析探索，全班学生对平行四边形面积的推导过程更加清晰了。

[思考]苏霍姆林斯基说过：“教育的技巧并不在于能预见到课的所有细节，而在于根据当时的具体情况，巧妙地在学生不知不觉之中作出相应的调整和变动。”课堂中学生的回答往往会不经意地闪出一些亮点，当学生出现教师所预设以外的答案时，教师不要急于否定并给出正确答案，而要给学生解释或讨论的机会。教师要通过倾听学生的想法、观察学生的行为，来发掘学生的智慧，捕捉学生发言中的亮点，从而因势利导，有效利用有价值的生成性资源促进学生学习。

[案例二]在教学“比较分数大小”时，我像往常一样问学生：“同学们，你们来比一比，是1/4大还是1/3大啊？”几乎全班学生都齐声回答：“1/3大。”此时，只有一个坐在角落的男生默不作声。我问他为什么不回答，他告诉我是因为无法判断1/4和1/3哪个大。

夜上海论坛 面对这种情况，我并没有急着向他解释为什么1/3大，我建议其他学生帮忙分析应该如何比较分数大小。可是，经过其他学生的帮助，该生还是一副不解的样子。于是，我积极地鼓励他说出自己的疑惑到底是什么。他反问道：“一个西瓜的1/4大还是一个苹果的1/3大呢？”这么一问，之前帮他的一些学生也被问住了。见此，我让学生进行思考和讨论。

通过讨论，学生们统一了意见，认为一个西瓜的1/4和一个苹果的1/3是无法进行大小比较的，如果要判断大小，则必须事先知道西瓜和苹果的重量分别是多少才行。有的同学还假想，如果西瓜和苹果一样重，就更容易作出判断了。

夜上海论坛 此时，我引导学生说，比较分数的大小应该在单位统一的情况下进行。就此，那个男生的问题也就迎刃而解了，而这节课因为有了他的“错误”变得更加精彩。

[思考]由于小学生的各种经验较少，掌握知识往往不够深刻和完善，在课堂学习中难免出现一些错误。很多时候我们往往不能客观地看待学生的错误，不允许学生出错，特别是一些简单的错误。在面对这些错误时，教师甚至持鄙视的态度，希望马上消除这些影响教学顺利进行的错误，这种做法极易挫伤学生的积极性，使学生产生自卑自抑、缺乏自信等不良情绪。恩格斯说过“最好的学习是从差错中学习”，教师需要真正以宽容、理性的态度去对待学生的错误，把学生的错误当做一种资源加以利用，将学生的错误变成一节课的点睛之笔，让学生在对错误的辨析中加深对知识的理解，培养思维能力。

夜上海论坛 [案例三]在教学“轴对称图形”时，我会让学生举一些轴对称图形的例子。举例时，经常会有学生说平行四边形是轴对称图形。可见，学生虽然知道什么叫轴对称图形，但只是停留在感性认识层面，并未透彻理解轴对称图形的属性。此时，我并没有点破他们的错误，而是让他们在所举的图形中画出对称轴。

夜上海论坛 学生在画对称轴时就会发现，看似轴对称图形的平行四边形是画不出其对称轴的。这时我通过点拨、引导，让学生发现平行四边形其实也是一种对称图形，但不是轴对称图形，再经过探索、操作，学生就会发现平行四边形是关于一个中心点对称的。趁此机会，我带领学生得出“中心对称”的概念与特征。

经过观察和比较，学生便发现圆形、正方形、长方形既是轴对称图形又是中心对称图形。通过这样的引导，不仅纠正了部分学生的理解偏误，还拓展了新的知识点，体验到学习的成功。

[思考]预设是建立在教师自己经验基础之上的，带有较强的主观性。而教学的展开过程应该是师生之间知识、思考、见解和价值取向多向交流与碰撞的过程。学生是带着自己的知识经验和见解参与课堂教学的，他们往往会产生教师预设之外的学习需求，好的学习往往是从学生提出问题而开始的。如果教师不能理解学生的问题，不能包容学生的问题，也就不能处理好教学。因此，教师不应去“包办”课堂中的所有问题，而要把关键问题还给学生去探究解决，让学生在解决问题过程中发现、拓展知识，使学生能够举一反三、触类旁通。

第7篇

夜上海论坛 [关键词]预设与生成；贴近学情；随学而动

夜上海论坛 [中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）08-0045-01

关于教学预设与生成关系的话题，今天再度提出来，旨在探讨在小学数学教学中教师如何科学地把握课堂的去向，如何更好地贴近教学预设，如何激发学生的潜能，调动学生学习的积极性，让学生在课堂上活力四射。

夜上海论坛 【案例一】师：这里有2个完全一样的三角形，你能把它们拼成什么图形？

生：平行四边形，长方形，大三角形。

师：对于拼成的长方形，你发现了什么？

生1：它是由2个直角三角形拼成的，一个直角三角形的面积是长方形面积的一半，能够得出三角形的面积=底×高÷2。

师：从拼成的平行四边形中能得到这个结论吗？

夜上海论坛 生2：可以的，平行四边形的面积=底×高，所以一个三角形的面积=底×高÷2。

夜上海论坛 师：大家都很聪明，现在会计算三角形的面积了吗？

【案例二】师：我们已经知道长方形、正方形、平行四边形等面积的计算方法，你还想计算谁的面积呢？

生：梯形，圆形，三角形……

师：很好!今天我们就先研究三角形的面积。你打算怎样研究呢？

夜上海论坛 生1：把长方形沿对角线剪开，得到2个完全一样的三角形，所以三角形的面积等于长方形的面积的一半，长方形的长是三角形的底，长方形的宽是三角形的高，得出一个三角形的面积=底×高÷2。

生2：我们是把2个完全一样的锐角三角形拼在一起，发现能拼成一个平行四边形。平行四边形的面积=底×高，那么一个三角形的面积=底×高÷2。

【思考】

1.预设应贴近学情

教学预设是什么？是剧本，是脚本，是师生教学活动的基本框架。从上述两个案例中不难发现，这两份“剧本”的定位是不一样的，因此在推进“剧情”发展的过程中呈现的态势也大相径庭。

案例一中，教师给定学具，让学生在既定的框架中操作，这样的实践只能算是经过，而不是经历，更谈不上学生感知的积累和视野的拓展，学生很难获得深刻的感悟。案例二则给予学生很多的机会，学生既可以在剪纸中，也可在折纸中、拼图中获得知识。不一样的实践，会有不一样的感受，在这种学习情境中，学生的感知必定丰富。

从学情入手，从引导学生反思处着力，教学A设就会为有效学习助力，成为快乐学习的基本保障。

2.预设应关注探究

精心设计是教好数学的基本保证，精简设计是教学智慧的体现。因此，教学预设要更多地关注学生的探究活动，让学生在解读一个个数学现象中发现知识的真谛。

在案例二中，教师的放手体现了教学的智慧，教学预设不再是教学的紧箍咒，它加速了学生智慧火花的碰撞，有利于学生探索热情的再现。这种灵活多变的、富有弹性的教学掌控，让数学教学流淌着智慧的灵光，更为学生的自主学习、创造性学习提供了坚实的平台。

案例一的教学，从表面上看，学生能够动手实践了，在活动中也有发现了，但教师提供的实践素材是固定的，是单一的，这样一来，学生的选择是有限的，思维的空间也是狭窄的，学生被动执行操作指令的痕迹是明显的。这样的学习不是真正的自主学习和合作学习。

3.生成应充满灵气

学生是人，有自己的情感、思考和待人接物的态度。因此，教学应在预设的架构上进行适度、适宜、灵活的删减，使之更加符合课堂教学，贴近教学走向，让课堂充满和谐与灵动。

如案例二的后续还出现了这样的对话“我有一个新发现，把三角形的顶角部分剪下来后可得到梯形，再沿梯形的中位线剪开，也能拼成平行四边形!”“不对!你剪下的那部分放哪了呢？”……学生有直觉思维，它是一种灵感，也是一种创新。因此，给学生充分交流的机会，让争辩使学生的感知越加清晰，让交流使学生的思维得以碰撞。

夜上海论坛 学会倾听是教师的本能，如果教师只盯住教案的走向，那么学生精彩的争辩我们永远也看不到，也许学生的创新、求异思维也会湮灭。把学生看成人，一个鲜活的人，不仅是教学的本质体现，更是教学机智的再现。

第8篇

一、思考“本质属性”

夜上海论坛 对“学什么”这一问题的思考，实际上就是对学生“学习目标（Objective）”的确定过程。如果把学生视为学习的主体，那么这样的学习目标相对于学生来说就具有客观性，是课程编制者或者教师对学生应当“学什么”的期望（Expectation）。对“怎样学”的思考，首先是将学习目标转变为学生应当执行并完成的学习任务（Task），之后是思考学生为完成任务所需要经历的学习活动（Activity）。对“学什么”和“怎样学”这两个问题的思考并不是截然分开的，二者的思考应当是融合在一起，并且都要基于对所学知识点及其认识过程本质属性的认识。

比如“平行四边形的面积”，[2]这一知识点反映的是一个平行四边形面积的大小与这个平行四边形内部元素（底边长度和高的长度）之间相互依赖与制约的关系，其本质属性是对客观规律的描述，此类知识的特点相对于学习者来说具有“确定性”，不依人的意志为转移。认识这种知识的基本方法是“发现（Discover）”，也就是通过观察并比较诸多不同对象，从中发现共性，这样的共性就成为了具有一定普遍意义的规律。

数学课程中另外一类知识其本质属性是人的“发明（Invention）”，这一类知识通常是依赖于人的主观“需求（Need）”而出现的。以分数为例，这种“需求”至少表现在三个方面。从语言的视角看，当表达数量关系的时候，同一种数量关系通常会有两种说法，这两种说法往往是“双向同义”的。如果说“甲的收入比乙的收入多100元”，就会有反过来并且意义相同的说法，即“乙的收入比甲的收入少100元”。如果说“甲的收入是乙的3倍”，需要反过来并且要求意义相同的说法，那么没有分数，这样的说法就难以实现。有了分数，就可以说“乙的收入是甲收入的三分之一”，从而实现了“双向同义”的语言描述。

历史上人们对分数的“需求”还表现在“量（Magnitude）”的测量方面。在没有度量单位的时候，人们对量与量之间的比较通常都是“用小量大”，当出现“量不尽”的情况时，就“用余量小”，如此反复，量尽为止。比如图1两条线段分别表示量A和量B，其中A是较大的量。

量A：― ― ― ― ― ―

量B：―――

夜上海论坛 图1 量的比较示意图

夜上海论坛 如果需要了解并且表达两个量之间关系的时候，人们首先就会用较小的量B去与较大的量A重叠测量，目的是为了知道几次量尽，从而就可以知道量A中包含了几个量B。但是测量过程中经常出现量不尽的情况，也就是有剩余的情况出现。（见图2）

量A：

量B：

夜上海论坛 图2 “量不尽”示意图

夜上海论坛 图2中用量B测量量A重叠2次后，出现了小于量B的剩余量C，这时候人们通常会用剩余的量C反过来去与量B重叠测量，如果仍然量不尽，就继续重复这一“用余量小”的过程。图2用C量B的结果恰好三次量尽。这时候就需要用数来描述量A与量B之间的关系，此时仅有整数就不够了，有了分数就可以说“A是B的2（或者）”，也可以说“B是A的”。用“比”的语言说就是A与B的比是7∶3，或者B与A的比是3∶7。

数学家对分数的“需求”还表现为对除法运算“封闭”的愿望。在整数范围内，两个整数相除，可能得不到整数的结果，这种情况就叫作“整数集合对除法运算不封闭”，也就是整数集合内两个元素的运算结果跑到了整数集合的外面了。因此需要扩大整数集合的范围，把分数合并到整数集合中来，由此形成了数学中的有理数集合，在这个集合中除法运算就能保证封闭了，即任何两个有理数相除的结果一定还是有理数。

“发现”的知识与“发明”的知识属性不同，当然学习的方式也就有了差异。发现的过程核心环节是“观察与比较”，发明的过程重在“需求与创造”。针对不同属性的知识，备课中就要思考如何为学生设计学习任务和学习活动。

二、如何设计“发现”的过程

夜上海论坛 对客观规律的认识至少应当包括两个方面。首先应当是定性的认识，比如对于“平行四边形面积”来说，应当认识无论什么样的平行四边形，其面积的大小都受制于底边长度和高的长度；在定性认识的基础上，就可以有定量的认识，即面积的大小等于底边与高的乘积。针对定性的认识，需要观察并且比较不同的平行四边形，在不同中发现共性，也就是所有平行四边形面积的大小都受制于底边长度和高的长度；而对于定量的认识，也就是平行四边形的面积等于底边与高的乘积，需要观察平行四边形与面积相等的长方形之间的关系而得到。如果把长方形视为特殊的平行四边形，那么就可以将定性的认识与定量的认识合为一体，把学习目标确定为“发现平行四边形面积的大小与底边和高的关系”。

既然这一学习目标的实现依赖于观察与比较，那么教师在备课中需要思考的就是如何设计能够沟通学习目标及观察与比较活动之间联系的学习任务。这种任务的设计是否有效，取决于两个前提，第一是观察者为什么需要观察，也就是要为学生提供观察的理由，这种理由可以使得学生具有观察的动机；第二是观察什么，也即需要为学生提供观察对象以及思考方向。学习任务的叙述可以是以问题的形式出现的，不妨称之为“问题型”任务。比如针对学习目标“发现平行四边形面积的大小与底边及高的关系”，可以设计如下的问题型任务：“下面是三组平行四边形，每一组中两个平行四边形面积是否相等？你是怎么得到结论的？”

夜上海论坛 图3 平行四边形面积比较图

第一组中两个平行四边形的底边长度不相等，但是高的长度相等；第二组中两个平行四边形的底边长度相等，但是高的长度不相等；第三组中两个平行四边形的底边长度相等，同时高的长度也相等。为了回答这样两个问题，学生可能的学习活动有用眼睛“看”，看不出来还可以用尺子“量”，当然也可以用剪刀把两个平行四边形“剪”下来重叠在一起“看”。所有的活动都是针对“是否相等”以及“为什么”这样两个问题，因此活动就不是盲目的，而是有目的的，活动的目的性使得学生具有了参与活动的动机。同时，教师为学生提供的三组图形相当于为学生的观察提供了对象。通过活动最终期望学生发现平行四边形面积的大小与底边以及高有关。

夜上海论坛 学习任务的叙述还可以是“指令性”的，就是指明要求学生做什么。比如在前面任务已经完成的基础上，为了能够发现平行四边形面积公式，可以给学生布置如下任务：“在方格纸上画出一个长方形，再画出一个与长方形面积相等的平行四边形，和你的同伴说说你的画法。”学生依据前面观察的经验，在画图过程中自然而然地就会把平行四边形的底和高与长方形的长和宽建立起联系。在以上学习活动的基础上，最后可以通过布置指令性任务：“请自己总结出计算平行四边形的面积公式，将你的结论写出来。”通过以上三项任务，学生经历一系列以观察与比较为核心的学习活动，就应当可以达成“发现平行四边形面积的大小与底边和高的关系”这一学习目标。

夜上海论坛 三、“发明”的过程需要经历

对于“发明”的知识，认识的核心环节是感受需求，并且经历自主发明的过程。以分数为例，分数的学习包括分数概念的形成与语言表述、分数之间的相等与不等关系、分数的运算以及分数与除法和比的关系等内容，这些内容需要一个螺旋上升的学习过程。如果把分数的本质属性定位于语言，那么其学习过程就应当遵循语言学习的规律。语言通常是按照“先听说，后读写”的顺序进行学习的。通过“听说”可以感受到分数的存在以及分数概念的含义，通过“读写”让学生经历“发明”的过程，感受数学中文字语言、图形语言以及符号语言之间的相互关系。学习分数之初，首先应当让学生感受到对分数的“需求”，体现“让知识因需要而产生”的教学原则。因此小学三年级“分数初步认识”的学习目标可以确定为如下三个：感受分数在语言中的存在及其必要性；经历分数符号从“多样”到“统一”的发明过程；了解分数的含义。

夜上海论坛 针对第一个学习目标，可以设计如下的学习任务：“钟表上表示的时间是‘7点半’，思考其中的‘半’是什么意思？与同伴交流自己的想法。”（见图4）

图4 钟表示意图

学生在执行并完成这一任务的过程中，自然要思考和交流分针转动一圈与半圈的关系，或者时针转动一格与半格之间的关系。这种思考与交流一方面感受到二分之一的现实存在，同时也能初步感受到分数用于描述局部与整体关系的含义。类似的任务还可以设计为如下的形式。

夜上海论坛 将一张长方形纸对折，折痕将整张纸平均分成了两部分。这两部分的大小是什么关系？用尽可能多的语言说说其中一部分的大小与整张纸之间的关系。

用尽可能多的语言说说“10元钱”与“2元钱”之间的关系。

这样的任务可以启发学生在思考和交流的过程中，沟通描述数量关系的多种语言之间的联系。比如关于“10元钱”与“2元钱”之间的关系，学生可能利用先前熟悉的描述加减关系的语言，说出：“10元比2元多8元”和“2元比10元少8元”。学生还可能利用二年级学习过的“倍的认识”说：“5个2元等于10元”或者“10元是2元的5倍”，此时恰好说明需要一种与之相反的说法：“2元是10元的五分之一”，“五分之一”自然而然地因需要而产生了。

通过“听说”初步感受分数的含义后，就需要用符号来表示分数。符号作为一种数学的语言，具有“人造（Artificial）”的特点，其发生与发展必然是从“多样”走向“统一”的过程。如果把分数的符号表示方法直接告知学生，表面看省时省力，但失去的是学生经历发明符号的思考过程。为了让学生经历这种“发明”的思考过程，针对第二个学习目标，可以设计这样的学习任务：“你认为应当用什么样的符号表示二分之一？向同伴介绍你的发明。”在北京小学万年花城分校“变教为学教学改革实验”的课堂中，发现学生依据这个任务开展活动后，的确出现了“多样”的符号表达。（见图5）

夜上海论坛 图5 学生分数符号表达

夜上海论坛 在这些符号表达中，学生运用斜线、横线、逗号等多种方式表达“分”的含义。而且还发现许多学生在写“二分之一”的符号时，喜欢将2写在左侧或者上面。这实际上反映出平时习惯的阅读和书写顺序（从左向右，自上而下）对学生认识分数的符号是有影响的。分数“二分之一”的读法是“先2后1”，因此学生书写也是这样的顺序。

在学生“多样”的发明充分交流和展示之后，教师可以补充一个学习任务：“同一个二分之一出现了这么多不同的符号，行吗？应当怎么办呢？”补充这个任务的目的在于引发学生思考，分数符号作为一种数学语言，其重要作用是用于交流，多样化会带来交流的困难，因此需要统一，统一的目的是让所有人看到后都能够知道其确定的含义。

在这两个任务之后，为了进一步沟通不同语言之间的联系，深化对分数含义的理解，可以再为学生布置一个任务：“举个例子说明的意思，在小组内交流不同的想法。”学生可以通过画图、折纸、讲故事等多样化的活动完成这个任务，在完成任务的过程中自然会加深对分数含义的理解。

如果时间允许，还可以设计数学与其他学科沟通联系的学习任务。比如中国传统文化中成语和诗词的学习通常是语文课程中的内容，如果引入到数学课程的教学中，一方面可以沟通不同学科知识之间的联系，同时也能够激发学生学习数学的兴趣，感受到数学学习的现实意义。在前面已经初步认识分数之后，可以利用成语“半斤八两”设计如下的学习任务：“中国古代用‘斤’和‘两’作为重量单位，16两为1斤。古代成语中有‘半斤八两’的说法，请你用今天学习的知识描述这个成语的意思。”这个任务的思考讨论实际上已经渗透了六年级将要学习的“正比例”的知识。如果把“斤”和“两”看作两类不同的量，那么其相互依赖的关系可以从表1中明显看出。

夜上海论坛 类似的成语还有“事半功倍”与“事倍功半”等。中国古代诗词中也有蕴含着分数含义的。比如明代诗人杜庠的题为“岳阳楼”的诗：“茫茫雪浪带烟芜，天与西湖作画图。楼外十分风景好，一分山色九分湖。”洞庭湖是湖南省和湖北省的分界，岳阳楼位于洞庭湖畔湖南省一侧，在楼中能够远眺君山。“楼外十分风景好，一分山色九分湖”可以用分数的语言描述为，把楼外的风景看作10，那么山景占了其中的，水景占了，描绘出了近大远小的视觉效果。

“变教为学”教学改革期望的是学生“自由、自主、自信”地开展学习活动，为此就需要教师在备课中准确把握知识的本质属性，合理设置学习目标。在此基础上，“把目标变成任务、把知识变成问题、把方法变成活动”，让学生在课堂学习活动中“爱做、能做、善做”。所谓“爱做”就是学生对于执行学习任务具有积极性和主动性，也就是所谓内在的动机（Motivation），让学习活动成为学生“自觉自愿”的主动活动，而不是“被逼无奈”的被动活动；所谓“能做”是期望每位学生都能够明白自己应当做什么和怎样做，而不是“部分人做，其他人陪”；所谓“善做”指的是每位学生都有做好的愿望，活动过程中有机会向同伴学习，也有机会与同伴分享自己的想法。真正做到“每位学生都有活动，每位学生都有机会”。

参考文献：

[1]郜舒竹.“变教为学”从哪儿做起[J].教学月刊小学版（数学），2013（9）.

第9篇

那么如何发挥教师的主导作用呢？《数学课程标准》在基本理念中明确提出：“教师教学应该以学生的认知发展水平和已有经验为基础，面向全体学生，注重启发式教学和因材施教。处理好教师讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想方法，获得基本的数学活动经验。”课标对“教为主导”作了全面的定性阐述，特别强调了教师的教学要遵循学生的认知规律和实际状况，采用不同的方式引导学生学习。

那么如何发挥“学为主体”呢？《数学课程标准》提出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”以上所阐述的学习理念，其核心就是在教学中要使学生积极主动地参与到有效的学习活动中来。

夜上海论坛 由此可见，教学中教师的主动引导与学生的主动学习，应该形成“两个为主”的关系。现在的问题是有些教师把主动引导理解为主动提问，没有创设更好的方式让学生在活动中自己去发现问题、提出问题，甚至把主动帮助变成了包办代替，剥夺了学生的思维空间。由于出现了这种情况，所以我们要倡导“以生为本”的课堂，并提出了“以学定教”的教学思想。但在推行这一教学思想的过程中，一些教师又片面地认为学生的“学”要比教师的“教”更重要。对于这一问题，我们只要认真地去解读新课标就会知道两者不能随意偏颇。《数学课程标准》在基本理念中提到：“教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。”这段话也正好说明了教师“教”与学生“学”的关系，说明了“教”与“学”都是很重要的两个方面。浙江大学盛群力教授在《论有效教学的十大要义》一文中提到的其中一个要义就是“学教统一”。盛教授认为：“学习与教学究竟是一种怎样的关系呢？是学重要还是教重要，是学在先还是教在先呢？这确实难以简单、笼统地下结论。一般地说，学与教处于同等重要的地位，绝不能说倡导‘生本教学’就是将学生放在首要位置。学习与教学本来就是一体两面的事情，虽然我们都同意现代教学是以学习者为中心，是一种‘生本教学’，但是，这并不意味着可以轻视教学的作用，无视教师的存在，学习与教学、学生与教师，只有这两个方面协调平衡了，才是我们向往的境界，有两个积极性比只有一个积极性好。只讲一个主体，不管是以学生为主体还是以教师为主体，都是单方面甚至是片面的。”盛教授在文章中还提出了另一个要义是教学要做到“扶放有度”：“不要简单地说先学后教还是先教后学，学需要教的促进，没有教，也是可以学的，但是为了更高效地学，这就需要教了，问题是教什么、教多少、何时何地教，这就需要有一个‘扶放有度’的问题。”

夜上海论坛 现在大部分教师对以上教学理念都是非常赞同的，还努力朝着这一方向去实施。问题在于教师的解读程度存在着差异，所以部分教师在具体设计时就没有处理好教与学的关系，在教学的实施过程中没有把握好学生的参与度，甚至对怎样的教学才算是学生真正的自主学习，怎样的教学才算是教师做到了有效引导不是很清晰，因而造成教学效率的低下。这也说明教师要把先进的教学理念转化为自己的教学行为需要一定的过程，这一过程是不断学习与反思的过程，是长期实践与磨炼的过程。基于以上认识，本文想通过对几个教学案例的分析，揭示教师在设计教学素材和处理教与学的过程中出现的几个方面的缺失，并提出我们应如何去改进的一些做法，供大家教学时参考。

一、担心学生无法自主，导致教与学的失衡

教学方式的确定首先要分析学生是否能自主独立地进入学习活动，这是为了更好地引导学生自主学习必须思考的因素。但部分教师在分析“引导”与“自主”的权衡上有时把握不定，甚至对有些教学内容教师认为学生独立探究有困难，就没有更多地考虑引导对策，而出现了教师的“教”重于学生的“学”。

如教学《圆的面积计算》时，因为学生在这之前的转化都是直边形，所以学生要在没有预习的前提下能自己想到把圆等分成小扇形，并把它拼成近似的长方形或平行四边形，一般是不大容易做到的，而且更不会想到等分的份数越多拼出的图形就越接近长方形。教师在教学这一内容时作这样的分析是对的。可是有些老师认为学生完全自主有困难，所以干脆就不让学生去动手探究，只让学生观察媒体的动态演示，或观察教师的教具演示来说明剪拼的推导过程。这样的教学虽然学生看得很清楚，想得也很明白，但我们总觉得学生是完全处在被动的听讲上，没有让学生经历解决问题的思维过程。出于这样的思考，我们对此课作了如下改进。

教学片段一：

夜上海论坛 师：要想知道圆的面积的准确计算方法，我们应该用什么方法来探究呢？（这时学生迟疑了片刻）

师：我们在探究平行四边形、三角形、梯形的面积时都用了怎样的方法？

夜上海论坛 教师呈现预先设计好的投影，帮助学生回忆平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导方法，使学生说出：都是把它剪拼成已学过的图形，或用两个完全一样的图形拼成已学过的图形。

夜上海论坛 师：用两个完全一样的圆拼成已学过的图形，有可能吗？

学生同桌用两个圆片拼拼后回答：不可能。

夜上海论坛 师：那你们能把一个圆剪拼成已学过的图形吗？

夜上海论坛 通过投影的观察、想象，感知无限等分后化曲为直的思想。

夜上海论坛 以上教学片段给我们带来这样的思考：如果碰到学生完全自主有困难时，应该去研究如何调整活动方案，怎样放慢活动的速度，而不是简单地取消学生的活动机会。教师应该是在学生遇到困难时给予适当的帮助，在学生有一定感悟后再去呈现投影，引发进一步的想象。这样的教学才能达到更佳的学习效果。

二、固守某种教学方法，缺乏教与学的创新

夜上海论坛 所谓固守某种教法，就是大家在教同一内容时基本选定的一种方法。其原因有两个，一是这种教法确实有一定的优点，教师也认为这种教法没有什么可以改进的地方；二是执教者的设计思维惰性，满足现状，没有与时俱进的追求，不愿意对现成的方法作进一步思考。因此，在教与学的处理上比较平庸，缺乏教与学的创意。

如在教学《平行四边形的面积》一课时，见得最多的方法是让学生观察一个平行四边形和一个长方形，当学生一时难以区别它们的面积大小时，教师给学生提供每格是1平方厘米的格子纸，并把这个平行四边形和长方形画在格子纸上，引导学生数出平行四边形的底和高的长度，数出长方形的长和宽的长度，再数出这两个图形的面积，从中发现长方形的面积刚好与平行四边形的面积相等，平行四边形的底与长方形的长、平行四边形的高与长方形的宽也刚好相等，以此得出平行四边形的面积就是“底×高”，接着再引导学生操作验证。现行的一些教材也是按以上方式编写的，先让学生数格子也比较符合学生的认知规律，教师也确信这种教法比较成熟，似乎没有什么好改进的地方。但我们如果进一步深入思考学生数格子的过程，虽然在数面积时有许多方法可以启发学生下一步如何去探究，可是在数出数量后，只要对照数量就会得出“底×高”的结果。现在的问题是，当学生没有学习平行四边形面积的计算方法之前，面对一个平行四边形要计算它的面积，学生会怎样思考呢？它的面积与什么有关呢？它的面积应该怎样计算呢？我们的学生也许会误认为是邻边相乘，不能感受到它的面积与它的底和高有关。今天提供给学生的是数格子的素材，学生只要按要求数就可以了，这样教学，学生的好奇心、自主性会油然而生吗？出于这样的思考，我们对本课的开始环节作了以下改进。

教学片段二：

让学生拿出四根塑料棒搭成一个平行四边形（如图6），并向学生提出：你们可以轻轻地拉一拉、玩一玩这个平行四边形。

夜上海论坛 接着提出：你们在玩这个平行四边形时感受到什么数学问题了吗？（学生先分组交流后，再反馈）

夜上海论坛 生1：平行四边形容易变形。

夜上海论坛 生2：平行四边形的形状变了，面积也变了，但周长没有变。

师：这个平行四边形变成怎样的图形时，它的面积最大？

生：变成长方形时它的面积最大。

师：是吗？大家再慢慢地拉一拉，看一看是这样的吗？

夜上海论坛 让每位学生都感受到平行四边形变到长方形时它的面积最大。

师：假如这个平行四边形的两条邻边分别是7厘米、5厘米，那这个长方形的面积是多少平方厘米？

夜上海论坛 教师随手在黑板上画出一个长方形，借此复习“长方形的面积=长×宽”。

师又提出：这些图形的面积的大小变化与什么有关呢？

教师继续让学生拉一拉平行四边形的框架，先分小组说一说自己的发现，再集体交流。

生1：与角度有关。（指的是两条邻边的夹角，教师肯定他的想法有道理）

生2：平行四边形越扁，它的面积越小。

夜上海论坛 师：平行四边形越来越扁，你能想到与平行四边形的什么有关呢？

生：与平行四边形的高有关。

师：通过这个特殊的平行四边形的面积观察和计算，我们可以猜想到一般平行四边形的面积应该怎样计算呢？

夜上海论坛 生：平行四边形的面积=底×高。

夜上海论坛 接着引导操作探究，让学生任意拿出一张平行四边形纸片剪拼，探究如何把平行四边形转化成已学过的长方形，并注意不同方法的剪拼与说理。（过程略）

夜上海论坛 以上教学过程是学生在玩平行四边形塑料框架的过程中，围绕着教师引领的几个问题自主领悟到平行四边形的面积大小与底和对应的高有关。这样的教学是顺着学生原生态的感知过程组织学习的，打破了以往的一般教法，收到了较好的教学效果。

三、自主方式不够匹配影响教与学的本真

在平常的教学中我们经常发现，一些教师虽然具有引导学生自主学习的意识，可是没有较好地分析教学内容的特点与学生的认知规律，组织的自主学习活动与教学内容不够匹配，因此影响了教与学的本真。

比如，在教学《有余数的除法》一课中要求学生学法的笔算。教师在教学时可以从没有余数的除法开始，并设计活动素材提出活动要求：用12根一样长的小棒，每4根搭一个正方形，可以搭几个正方形？让学生动手搭一搭后，写出算式“12÷4=3”。接着往往教师就会提出：今天还要学法竖式，你们觉得除法竖式应该怎么写？请同学们试一试好吗？由于有加法、减法、乘法竖式的基础，所以学生都会想到把被除数写在上面，除数写在下面，再在最下面写出商。当学生都写成这种形式后，教师无奈地提出：你们的想法有一定的道理，其实除法竖式不能这样写，接着教师介绍除法的竖式书写方式。由此可见，在这里要学生自主尝试写除法竖式，学生只能迁移之前的竖式形式。教师也知道学生迁移以前的竖式形式对除法竖式没有什么好处，所以马上给予否定。我觉得既然这样就不要让学生去尝试写竖式了，把学生自主学习的时机放在自己读懂除法竖式上，这样效果就会更好一些。具体教学可作如下改进。

教学片段三：

呈现问题：用12根一样长的小棒，每4根搭一个正方形，可以搭几个正方形？

夜上海论坛 生：可以搭3个正方形。

师：你能写出除法算式吗？

生：12÷4=3。

再呈现问题：用13根一样长的小棒，每4根搭一个正方形，结果会怎样？

夜上海论坛 生：可以搭3个正方形，还剩下1根小棒。

师：请同学们拿出13根小棒在桌上搭一搭。

夜上海论坛 学生操作后教师把它用草图画在黑板上： 。

夜上海论坛 师：把它写成除法算式怎样写呢？

夜上海论坛 这时学生独立尝试写算式：

夜上海论坛 13÷4=3（个）还剩1根

13÷4=3（个）……1（根）

师：这里的除法与以前学习的除法有点不一样，它是有余数的除法。以上两种算式写法都对，但觉得第二种更简洁一些。我们以后写有余数的除法算式时就要按照第二种方法写，请大家选择第二种再写一写。

继续呈现问题：用14根一样长的小棒，每4根搭一个正方形，结果会怎样？

师：请你继续拿出小棒摆一摆，再用除法算式表示结果。

等学生操作和表示之后，教师继续画出草图写出学生的算式：

夜上海论坛 师：有余数的除法也可以用竖式计算。请大家观察下面的竖式，并对照以上的除法算式和图，你能看懂什么？

学生先通过独立解读竖式，再分小组进行讨论，然后集体交流，使学生重新找出竖式中的被除数、除数、商和余数，说出竖式中的“12”是什么意思。在交流中注意对照直观图和横式帮助学生理解竖式各部分的含义，并在竖式中标出各部分的名称与含义。

第10篇

夜上海论坛 关键词： 课堂生成 激活思维 善待错误 小题大做 自主构建

夜上海论坛 我们常说：“孩子们小小的脑袋中，藏着个大大的世界。”每个孩子生长的环境各不相同，在课堂教学过程中所激发出的潜能也各不相同，所以虽然老师“精心布防”设计教案，教学过程中学生依旧会“节外生枝”。我认为，这样的“节外生枝”是好事，因为它能更多地激发出学生的智慧，同时也激发出教师的智慧。那么当学生出现了预设之外的“节外生枝”，身为教师的我们要如何应对呢？怎样促进这些“课堂生成”的出现，更多地激发出学生的智慧呢？

一、畅所欲言，激活思维

在教学“平行四边形面积”的计算时，老师发给学生一张平行四边形的纸，让学生量出所需的边长，尝试计算该平行四边形的面积，并思考平行四边形面积的计算公式。结果，出现了两个比较集中的答案：（1）相邻两边相乘（7×5）得35平方厘米；（2）底与高相乘（7×4）得28平方厘米。教师让学生在四人小组内进行讨论，再让“底乘高”的学生先展示其想法，并进行直观演示，将平行四边形割补平移成长方形，想以此让用相邻两边相乘的学生对先前错误想法进行自我否定。

夜上海论坛 然而，第二种做法的学生也提出了质疑：“我们也是把平行四边形转化成长方形，而且只要将平行四边形拉一拉就成了长方形了，然后再计算出它的面积的，怎么不可以呢？”这出乎我们的意料，但确实是一个属于学生自己的、值得探究的问题。教师灵机一动，干脆装糊涂：“他们的想法也是挺有道理的!那35平方厘米和28平方厘米都对。”“底乘高”的学生可不干了，提出疑问：“同一个平行四边形的面积大小怎么会是不同的呢？”大家纷纷要求“相邻两边相乘”的学生说道理。第二种做法的学生拿着平行四边形木框架边演示边说着理由。刚开始，还真把人给“蒙”住了，渐渐的，有学生发现：在拉动的过程中，不仅形状变了，而且面积大小也变了。“底乘高”的学生代表运用这个框架进行了论证：如果平行四边形的面积等于相邻两边相乘是正确的，那么这些平行四边形的面积就都是35平方厘米了。可我们用肉眼都能看出它们的面积是不相等的呀，所以平行四边形的面积不等于相邻两边相乘。

正是课堂中教师让双方代表都“畅所欲言”，学生的“拉成长方形”的想法得到了充分展示，从而激发了学生之间激烈的思维碰撞，使学生对公式的理解、对化归思想的体会才能如此深刻。没有这种经过曲折过程而获得的成功，学生就不会有学习的自信和力量。教学过程应该是教师与学生、学生与学生之间的多向互动的过程；给不同观点的学生一个“畅所欲言”的平台，我们才能及时捕捉到各种教学信息，使之成为宝贵的教学资源，促进学生的思维发展。

二、放慢脚步，善待错误

我们对学生的差错，不能轻率否定，也不能置之不理，而应予以宽容。德国哲学家黑格尔指出：错误本身是“达到真理的一个必然的环节”。教师需要做的是如何将学生差错中的不利及消极因素转化为有利的、积极的、合理的因素，多给学生“先尝试―出差错―再完善”的机会。例如《角的度量》：

夜上海论坛 师：用量角器怎么量出角的度数呢？大家想不想自己试试？

夜上海论坛 生初次尝试用量角器量角1（40°）后逐一展示汇报，并说想法。

生1：角的大小是由角的两边张口的大小决定，所以我想用量角器量张口。

夜上海论坛 师：那你看出这个角是多少度了吗？

生1：（挠挠头）看不出来。

生2：我也是这样想的，但我觉得不能用这条直边量，应该用这条弯边量，因为刻度都在弯边上。

师：那你觉得这个角是多少度？

夜上海论坛 生2：70°。

夜上海论坛 生3：我觉得用直尺的时候，都要从0刻度开始量起，所以量角也要把角的顶点对准量角器的0刻度。

师：那你觉得这个角是多少度？

夜上海论坛 生3：90°。

夜上海论坛 生4：我感觉量角器上有很多线条，这些线条都汇集在这个点上，所以我要把角的顶点对准量角器的这个点来量。

师：那你觉得这个角是多少度？

生4：140°。

生5：我觉得不可能，这是个锐角，应该是40°。

师：刚才大家自我创新的量法都挺有道理的，可是，同一个角怎么会量出这么多不同的度数呢？到底怎样使用量角器呢？

夜上海论坛 对量角器这个新的测量工具，孩子们有着极大的好奇心。根据已有的知识经验，他们摆弄出了各种不同的量法，前三种同学的方法错了，他们是怎么想到这样量的呢？他们是从哪里受到了启发呢？错中有什么可取之处吗？经过逐一采访，这四种方法还真不是空穴来风，虽然是错误的方法，但从中我们看到了孩子们对已有知识、经验的运用和创新，这是多么的难能可贵。“从已有知识中受到启发进行新知识的研究”这一数学思想对学生来说是终身受益的。这是一个真实反映孩子们学习探究的“心声”的环节，从他们的错误方法中找到正确的知识切入点，然后逐步引导、纠正、领悟，进而掌握测量的方法，这样才能真正走进孩子心里。身为教师的我们，在要求孩子多问几个为什么的时候，更要放慢自己的脚步，用心思考、倾听孩子们的心声。

夜上海论坛 三、小题大做，大放光彩

夜上海论坛 一次数学小测验中，出现了这样一道题“1.25×（0.8+0.4）×2.5”，有近70%的学生是这样进行简算的：“1.25×（0.8+0.4）×2.5=1.25×0.8+0.4×2.5=1+1=2。”学生是受到题中数据（1.25、0.8、0.4、2.5）的诱惑，误用了乘法分配律。我打算评讲时，重在提醒学生不要贪图简便而上当，然后告诉学生正确的简便计算应该是“1.25×（0.8+0.4）×2.5=1.25×1.2×2.5=（1.25×3）×（0.4×2.5）”就可以了，可静下心仔细想想：这仅仅是数据的诱惑问题吗？孩子们对简算的运算定律背得头头是道，真正在进行简算时能否把这些运算定律运用到位呢？这道题就只能用这种简算方法，难道就真的不能用乘法分配律吗？通过这道题，我们要带给孩子的到底是什么？带着这些疑问，我想把这个错例“小题大做”一番。

师：出示乘法分配律字母表示式：a×（b+c）=a×b+a×c，乘法分配律是指一个数与两个数的和相乘，我们可以用这个数分别与两个加数相乘，然后把它们的结果加起来，结果是不变的。可这道题，是不是一个数和两个数相乘？

夜上海论坛 生：不是。

师：所以，这道题不符合乘法分配律，而我们贪图简便，却把乘法分配律硬套了上来，造成了犯规。

夜上海论坛 师：那么，这道题中到底有没有可以用乘法分配律的地方呢？

生1：我觉得前面这个部分可以用乘法分配律

1.25×（0.8+0.4）×2.5

=【1.25×（0.8+0.4）】×2.5

=【1.25×0.8+1.25×0.4】×2.5

生2：我觉得后面这个部分可以用乘法分配律

1.25×（0.8+0.4）×2.5

夜上海论坛 =1.25×【（0.8+0.4）×2.5】

=1.25×【2.5×0.8+2.5×0.4】

甚至有同学出现了这样的想法：把1.25×2.5看成一个数

夜上海论坛 1.25×（0.8+0.4）×2.5

夜上海论坛 =1.25×2.5×（0.8+0.4）

=1.25×2.5×0.8+1.25×2.5×0.4

通过这样一个错例，学生深刻感受到，数学是非常严谨的，它的每一步都是有充分依据的。在这个过程中，让学生体验到：先观察整体，整体不行，局部可以吗？以此培养学生从整体进行思考，灵活运用知识解决问题的能力。通过这道错例，我们要给孩子的不仅是帮助孩子发现错误，纠正错误，在以后遇到此类计算题目时不重复错误，更重要的是给学生思维空间，培养学生发现问题、探究解决问题的能力，让错题成为具有思考价值的好题。

夜上海论坛 四、提供支架，自主构建

坡度教学设计就是在课前设计不同层次的练习，给学生奠定基础，为新课内容难点的分解做准备。然而，构筑坡度是发生在学生尝试、探究活动之前，且全班学生都走在同一坡度上，具有很大的局限性，教师能不能在学生尝试探究活动的过程中，根据学生的学习需要，现场给学生搭建一些“支架”，满足不同层次学生的需要呢？

夜上海论坛 例如《除数是整十数的笔算除法》这节课，课一开始，教师出示：“玩具飞机每个售价30元，现有82元钱，能够买几个？”让学生自己尝试列竖式计算。结果出现了以下几种情况：

第一种 第二种 第三种

师：三种不同的竖式计算，有可能都是正确的吗？

生：（异口同声）不可能!

夜上海论坛 师：你能知道其中哪个答案肯定是错的？为什么？

生：27肯定是错的，因为买一个玩具要30元，82元钱最多能买2个。

师：这样看来，在第一、第二两个除法竖式中，都是商2的，所以都是正确的，大家觉得如何？

夜上海论坛 学生四人一小组进行讨论后进行了全班交流：

生1：我们认为第二个除法竖式是正确的，第二个除法竖式是错的。如果像第一个那样写，那就变成了可以买20个玩具了。

师：（问板书第一个竖式的学生）你这样商“2”是想表示可以买20个玩具吗？

夜上海论坛 生1：不是的。我想表示可以买2个玩具。

师：是呀，我也觉得你是想表示2个的，因为我发现你在“2”的后面没有添“0”。

生2：虽然他没有在“2”的后面添“0”，可是，他把“2”商在了十位上，十位上的“2”就表示20。

生3：我也认为第一个除法竖式错了。因为除到哪位商就写在哪位，这里已经除到了个位，所以，应该商在个位上。

对于什么叫“这里已经除到了个位”，可能还有些同学还不是很明白，教师也假装没听明白，说：“什么叫已经除到了个位了呢？”于是，继续请该生指着板书进行详细讲解。

夜上海论坛 生3：8除以30不够商1，所以要看82。82除以30可以商2，我们已经除到了个位，所以，2就要写在个位上。

当学生自觉地调动起各自已有的知识经验尝试计算时，有些学生商正确了，也有些学生心里想着商是2，可是到底把2写在哪个位上感到困惑，甚至有学生完全商错了。在学生遇到困惑和障碍时，就有了教师提供“支架”的需要。教师针对第一个竖式，提出疑问：“你这样商2是想表示可以买20个玩具吗？在该生作出“我想表示可以买2个玩具”的回答时，教师给予同情：是呀，我也觉得你是想表示2个的，因为我发现你在2的后面没有添0。然而，就是这一态度模糊的“理解支撑”，引起学生的不满，激起学生进一步深入思考：“这样在十位上商2到底可不可以呢？”就这样，通过学生间的想法交流和思维碰撞，学生不仅知道了商应该写在哪个数位上，而且知道了为什么应该商在该数位上的道理了，实现了对先前做法的自我否定，获取了新知识。在学生学习过程中由教师提供暂时性的支持，并通过学生自己的努力，建构出真正属于自己所理解、领悟、探索到的知识。

总之，课堂教学无处不生成，如何抓住这些课堂生成，使它成为数学课上具有思考价值的问题，更好地为学生服务，这些都对我们教师提出了更高的要求。因此，身为教师，我们不但要读透教材，更要读懂学生，面对课堂现场，灵活选择合适的题材，创设有趣的、具有思维挑战性和数学思考价值的问题情境。让学生积极主动地参与到探究、发现、解决问题的学习活动中，在自主、探究、合作的学习活动过程中，实现知识、思维和情感的全面、和谐、可持续地发展。

参考文献：

夜上海论坛 [1]刘兼，孙晓天.全日制义务教育数学课程标准解读.北京师范大学出版社，2003.

第11篇

面对学生的“众多声音”，教师既要听出“杂音”，分辨出对与错；也要能够听出课堂“奇音”，觉察出儿童见解的独特与新颖。不难想象，这样的课堂对于教师的介入提出了更高的要求!下面笔者结合自己的教学实践，总结了以下几个建议。

一、在儿童“个性化理解”处介入

夜上海论坛 笔者以为，很多时候，教师在课堂上往往不注意倾听儿童的回答，压根就是“假倾听”。在传统课堂中，教师逐字逐句地记教案，虽说有一定的优势，但也不排除它的弊端，因为教师往往会去想下一句教案是什么，而无法专注倾听学生的发言!

夜上海论坛 不妨先看一位年轻教师执教的“认识小数”教学片段。

夜上海论坛 师：这个分数是几分之一？（生议论二分之一、四分之一）

师：为什么不是二分之一？

夜上海论坛 生：因为它里面还藏着3个三角形。

师（没有搭理）另外喊人回答，终于听到“因为没有平均分成2份”的预设答案……

夜上海论坛 笔者以为，教师只顾着想听到预设的答案，而不注意倾听学生发言!其实，“藏”字，便是“奇音”，亦是儿童个性化的理解。这个字，无疑是学生对本题的深入理解，显然，这个学生已经意识到，下面的这个梯形里，还“藏”着3个三角形。如果教师能意识到这点，对学生给予必要的引导：“咦，孩子们，刚才他说里面还藏着3个三角形，你们明白他的意思吗？”“真好，你能画出藏着的3个三角形吗？就请你上来画”……

夜上海论坛 主张生本教育的郭思乐教授曾经说：“孩子的天性是活泼的、创造的，孩子是天生的学习者。”当课堂上学生呈现个性化的理解时，如果我们不及时地调整教学行为，而是“变了脸色”，硬是把学生拉往自己预设的方向，于是，课堂上便看不到“人”，只看到“走教案”；看不到过程，只看到结论。

夜上海论坛 具有儿童印记的、个性化的理解，教师一定要倾听与关注。有些时候，教师很难听懂学生的话语，因为成人与儿童之间，由于年龄经历上的差异，彼此的认识差异，总免不了一条鸿沟横亘其中。

陈鹤琴老先生说：“儿童了解儿童的程度，比成人所能理解的更为深刻。”教师听不懂的，不妨先让听懂的儿童去解释，教师再顺势引导进行辩论，学生就容易启动思维，即兴表述。

夜上海论坛 二、在“核心问题”处介入

教师备课离不开研读教参，笔者以为，每节课一定会有“核心问题”，如“平行四边形的面积”一课，平行四边形转化成长方形以后，“平行四边形的底和高与长方形的长和宽有什么关系”这个问题，便是本节课的核心问题之一。而教师应该利用学生动态生成中的相关资源，围绕“核心问题”，适时调控，展开教学。

夜上海论坛 不妨看笔者执教的“比较小数的大小”教学片段：

生1：我来画个图（如下图）。0.6根据小数性质，就是0.60，也就是，所以我涂了60份。0.48就是，所以我涂了48份。

生2：我还有一种方法。0.6元就是6角，0.48元就是4角8分，当然是6角大。也就是0.6>0.48。

生3：0.6就是0.60，60比48大（孩子读成了六十比四十），所以0.60比0.48大。

此处，笔者刚想“否定”学生的想法，但是转眼想到本节课的“核心问题”就是“比较两个数的大小，其实质就是比较两个数里包含了多少个相同的计数单位”。结合这点，笔者忽然发现，学生口中的“六十”，不就是“六十个0.01嘛”，如此，教学还可以更进一步：

师：大家觉得对吗？你知道他说的60是什么意思吗？48是什么意思？（生没反应，沉默）

师：请看生1的图（如上图），看着图你知道60表示什么意思吗？

生：60个小方块。

师：那也就是60个？

夜上海论坛 生：百分之一。

师：那48呢？

夜上海论坛 生：48个百分之一。

夜上海论坛 师：明白你们的想法了。你有60个这样的单位，而这里只有48个这样的单位，所以0.6>0.48……

夜上海论坛 核心知识是每个教学单元中必须要让学生掌握、理解、探明的主要知识技能，是一个学期教学、一个单元教学、一节课教学的主体内容与知识主干，是整个教学活动链条中的关键链环，是联系全部教学活动的主心骨，是教学活动之魂的栖息地。当学生沉默时，教师及时结合核心问题介入，“请看生1的图（如上图），看着图你知道60表示什么意思吗”，如此，学生的目光又重新聚焦到数学本质上了。

课堂中，会出现难以预料的动态生成，而这已不是在备课中能完全了然于胸、把握在手的。一个充满生命力的、动态生成的课堂，需要教师牢牢把握“核心问题”，依循学生认知的曲线、思维的张驰以及情感的波澜，以灵动的教育机智随时处理动态生成的信息，即时调整教学进程，真正实现充满生命力的、动态生成的课堂。

夜上海论坛 三、在“数学知识网”处介入

夜上海论坛 数学课堂不是一个一个的“孤岛”，而是前后紧密衔接的系统。我们都知道：一节节的课是前后呼应的整体，每一节课之间都应该是环环相扣的。课堂教学如果只是将眼光局限于某一节课的知识点，学生获得的，无疑就是一个个孤立的片段，而难以形成普遍联系的知识网络。这种被遗弃的“网络”，在如今的课堂中更加显得弥足珍贵。

教师应该在“数学知识网”处进行介入，适时调控，逐步引导学生将所学的知识形成连续的环节，延续学生的思维过程，并在对知识内在联系分析、比较的基础上，将所学的知识进行串联，形成系统的知识网，达到“学一点懂一片，学一片会一面”的目的。

不妨看笔者执教的“整百数乘一位数”教学片段：

夜上海论坛 2×3= 6×8= 4×7= 5×9=

200×3= 6×800= 400×7= 500×9=

5×900=

师：做这2道题（方框内）时，你们都是怎么想的？（生答略）

夜上海论坛 师：在400×7的上面还有一道题，我忘记给大家看了，猜猜看可能是怎样的算式呢？为什么？

夜上海论坛 师：5×9 =（ ），你们想在下面会是怎样的乘法算式呢？（生答略）

夜上海论坛 师：这么说来，整百数与一位数相乘时，我们一般都是怎样算的呢？可以举例说明。（生答略）

夜上海论坛 师：孩子们，仔细观察这一组题，你有什么发现？可以在小组内说说你的想法。

夜上海论坛 生1：第一横排都是我们之前学过的一位数乘一位数。（受到生1的启发，举手的人一下子多了）

生2：第二排都是今天学习的整百数乘一位数。

师：说得好!孩子们，我们今天学的知识难吗？ 回顾过去，我们以前学过的哪些知识和今天所学的内容有联系或相类似？

夜上海论坛 生3：整十数乘一位数。

师：放眼未来，猜一猜我们还会学习什么样子的口算？

夜上海论坛 生4：整千数乘一位数。

生5：整万数乘一位数。

夜上海论坛 师：如果是遇到整千数乘一位数，这样的内容我们还需要再从头开始学吗？

夜上海论坛 笔者把本课教学的知识（整百数乘一位数）置于整体知识（乘法）的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性。 “回顾过去”“放眼未来”的两次介入，笔者觉得必须得有。唯有如此，才能够帮助学生打通“一位数乘一位数”“整十数乘一位数”“整百数乘一位数”“整千数乘一位数”等知识的联系。我们教师在对学生进行知识技能训练的同时，是否也该多一些这样的纳入与发展的介入呢？

夜上海论坛 教师的介入策略，唯有靠经验不断积累，同时需要教师且行且思且改进。但对于教师的介入，有一点必须要考虑，就是教师在上课时要面向全班同学，而不是一个同学，简言之，你的引导、调控，应该要适合全班同学。正如数学课程标准所说，数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。

夜上海论坛 例如，“平行四边形的面积”教学片段：三角形的面积公式是在学完平行四边形面积之后要学的内容，但是有个学生已经知道了三角形的面积公式。

夜上海论坛 他是这样来推导平行四边形的面积公式的：

夜上海论坛 “老师，三角形的面积=底乘高除以2，平行四边形的面积是三角形面积的两倍，所以也就是底乘高除以2再乘2，所以也就是底乘高。大家同意吗？”（其他学生大部分没反应）

虽然内容不适合展开讲，但是他的发言也有闪光的地方。

夜上海论坛 师：三角形的面积我们后面会学，不过，他的发言告诉大家，看图（教师顺势把平行四边形分成两个三角形），这三角形的面积和平行四边形的面积有关系吗？（生答略）

夜上海论坛 师：如果这个平行四边形的面积是10，那三角形面积是多少？

学生看着图，很容易发现两者的2倍数量关系。

夜上海论坛 师：看来，还真有联系!三角形的面积还没有学，这两者的联系，咱们就研究到这里。好吗？

笔者在执教过程中，面对学生的超前知识并没有完全拒绝，而是摘取其大家都能听懂的部分“2倍”的关系，与全班分享，既沟通了知识之间的联系，同时对于这部分有超前知识的学生也是一种尊重，一种鼓励。

第12篇

夜上海论坛 一、关注生活经验

夜上海论坛 在数学教学中要加强数学与生活的联系，但这个联系必须自然贴切、合乎学生的情趣。由此可见，在先进的教学理念下，教师不仅仅是为了设计与生活相关的资源，更注重的是学生的生活情趣、生活体验、生活经验、生活实际。

夜上海论坛 曾经看到这样一个案例：在教学“可能性”一课时，先让学生观看一段动画：在风和日丽的春天，鸟儿在飞来飞去。突然天阴了下来，鸟儿也飞走了。这一变化使学生产生强烈的好奇心，这时老师立刻抛出问题：“天阴了，接下来可能会发生什么事情呢？”学生就会很自觉地联系他们已有的经验回答这个问题。学生认为，“可能会下雨”；“可能会打雷、打闪”；“可能会刮风”；“可能会一直阴着天，不再发生变化”；“可能一会儿天又晴了”；“还可能会下雪”……老师接着边说边演示：“同学们刚才所说的事情都有可能发生，其中有些现象发生的可能性很大，如下雨。有些事情发生的可能性很小，如下雪。在我们身边还有哪些事情可能会发生？哪些事情根本不可能发生？哪些事情发生的可能性很大呢？”运用这一情境导入，结合学生的生活经验，使学生对“可能性”的含义有了初步的认识。因为学习“可能性”，关键是要了解事物发生是不确定的，事物发生的可能性有大有小，而让学生联系自然界中的天气变化现象则为“可能性”的概念教学奠定基础。

二、关注活动经验

陈省身教授曾为青少年提过这样一句话“数学好玩”，为什么说数学是好玩的，数学好玩背后又隐藏着什么样的数学道理呢？我想，陈教授这句话是提醒我们作为数学老师、数学教育工作者，我们要在数学教学过程中，关注学生的活动，让学生在活动中获取知识，在活动中积累经验，在活动中提高应用数学的能力。

夜上海论坛 例如在“一一列举”学习过程中，老师提供了结构性材料，让学生通过周长相同的小棒摆不同的长方形，学生在从无序摆放到有序排列的过程中列出5个不同大小的长方形。在操作过程中，学生就已经对周长相等面积不等有初步感知，如何将这一活动过程转化为学生的经验呢？教师这时让学生算一算不同长方形的面积，并说一说有什么发现？让学生在算的活动过程中找到规律，发现长和宽不一样，所以面积就不一样。长和宽相差越大，它们的面积就越小，长和宽相差越小，它们的面积就越大。学生的这一数学活动为积累数学经验做好了铺垫。

夜上海论坛 三、关注知识经验

学生的不断学习的过程其实就是不断提高知识水平，提升获取知识的能力的过程，数学知识的获得离不开经验的支撑。随着时间的推移，学生经验将逐步转化为新的知识，有时学生也会利用已有的知识经验解决新的问题。

教学圆柱体积计算时，学生会想到的计算方法可能有：学生会利用生活经验，将圆柱体转化成规则形状的物体计算，如将圆柱浸入装有水的长方体或正方体容器中，求出变化部分水的体积。但学生的数学学习经验告诉他们，计算形体图形肯定有一定的公式，学生会经验已有的学习圆面积公式的知识经验将圆柱转化成一个长方体来计算体积。又如教学比的基本性质时，学生结合比与分数、除法的关系很快就会调用已有的知识经验储备，结合除法与分数的性质寻找到比类似的性质。

四、关注生成经验

数学学习是一个不断产生意外，不断在意外中找到灵感、解决问题、积累经验的过程，我们要关注学生的“生成性资源”，不要只停留在表面，对于学生瞬间出现的火花，我们要及时地进行引导、利用。钟启泉教授早就指出，教材和教案只是剧本，教学如同实际的演出，若要把戏演得精彩，则需要导演对剧本独具匠心的诠释和演员对所演角色的创造。

夜上海论坛 在教学完《三角形的内角和》一课后，有一位老师出示一个平行四边形让学生猜一猜多少度，并说一说你有什么发现？

生成资源：

1.想法多样性

学生通过度量，算一算得出这个平行四边形四个角的度数和是360°。一般情况下得到结论我们就到此打住了。但这时有一个学生还举着手，我就问：“你有不同意见吗？请讲一讲”他站起来说：“在平行四边形里面画一条线，把它分成两个三角形，每个三角形的内角和是180度，两个三角形的和就是360度，所以平行四边形的内角和就是360度。”生二：“我发现平行四边形相对的角是相等的，所以量出挨着的两个的角的度数就可以得到平行四边形四个角的和。”生三：只要把平行四边形那个尖尖的角剪下来，再补到下面那个钝角的边上，拼一拼好是不是180度，两个这样的180度就是360度。还有一个学生说：“老师，我能问一个问题吗？是不是所有的四边形的四个角的和都是360度呢？”我说：“这个问题猜测得好，到底这个结论正确吗？我们要通过验证证明一下。”

2.方法多样性

第13篇

夜上海论坛 【反思】教学中该教师用简单的设计改变了学生的传统的学习方式，充分体现了学生自主探究学习的主动性，体现了新课程的教学理念。教师的教学意图都是非常好的。那么，小学数学课堂中的“自主探究”，是否可以长时间或者是无限制地让学生自己去做一些事情呢？如何能使课堂教学中的自主探究活动真正有效？

一、认真钻研教材，精选探究内容

自主合作探究学习形式固然是好，但不是所有的学习内容都可以此形式来实现。“为了探究而探究，为了合作而合作”的形式主义是不可取的。根据数学学科的特点以及多年的教学实践，我认为：规律性较强的知识适合探究，而一般的常识性知识不宜探究；首次遇到的生疏的学习内容不适合探究，而后继内容既有知识基础，又有能力储备，可以展开探究；类比性强的知识，可利用知识和方法的迁移性进行类推性探究；而零散的孤立性知识不易探究。我们要努力开发教材资源，设计符合学生实际、适应学生发展的探究教学内容。

在教学“平行四边形面积”时，不要先带着学生用画、剪、拼、量的操作来得出相应的结论，而要先启发学生思考：“能不能试着自己动手剪一剪、拼一拼，把平行四边形转化成长方形？”于是学生纷纷投入到探索“如何转化”的学习活动中，热切地讨论、大胆地尝试、独立地操作、积极地思考……结果不少学生找到了不同于教材上的转化方法。无论沿着哪条虚线剪开，平移后都能拼成一个长方形，从而推导出计算公式：平行四边形的面积=底×高。这样的处理使学生在探究过程中把获取知识、拓展思路、培养能力有机地结合起来了。

夜上海论坛 二、灵活把握课堂，找准探究时机

一节成功的课堂充满活力，学生都是鲜活活的生命个体。教师在课堂上一定要准确把握学生的思维状况，并据此选择探究的最佳时机。如果学生没有探究的需要，即使是教案上安排的也要舍弃；如果学生产生了迷惑，即使教案上没有安排，也要组织探究。在实际教学中，以下几种情况比较适合运用合作探究学习：

1.探寻规律时。教师创设问题情境后，要引导学生通过探究去寻找规律，去发现规律。以“商不变的性质”为例，教师创设情境，提供正反材料，引导学生围绕“被除数和除数怎样变化时，商才不变”这一中心问题展开合作探究。学生在情境中感悟，在探究中体验，最终发现商不变性质的规律，并通过对一些变式材料的进一步探究，加深对商不变性质的理解，使思维的深刻性得到发展。

2.验证猜想时。提出探究内容后，可让学生先大胆地猜想一下，然后引导学生合作探究去验证猜想。如：推导圆锥的体积公式时，由猜想结果开始，激起学生的兴趣，进而引导学生一起动手去操作实验，尽可能地证明自己的猜想。

3.意见不一时。在运用概念、性质或定律等数学知识判断、辨析正误中出现不同意见时，组织探究，进一步探究本质特征，既能引起学生浓厚的兴趣，又能让学生有更多的发表见解的机会。

夜上海论坛 4.解决难题时。当教学中出现一些挑战性题目时，由于思维力度大，开放性强，依靠个人力量往往难以找到解答方法或者思考不全，此时需要小组合作，开展讨论交流等探究活动。

三、活动组织有效，及时探究指导

学生的探究活动要取得成功，做到活而有效，需要教师及时指导作坚强的后盾。整个过程中教师是学生探究活动的组织者、引导者、促进者和合作者。教师应该对整个探究活动进行宏观调控。教师的指导作用可以通过以下途径来实现。

1.创设情境，在情境中诱导探究。活用教材，设计情境。在备课中，不要为教材所左右，应精心设计问题情境。如悬念式情境、冲突式情境、操作式情境等，使学生在奇中问、在疑中问、在动中问，培养学生爱问的习惯。

2.设计导学单，循序渐进引导探究。教学过程围绕导学单所设计的活动而活动，通过一些活动要求，引导学生探究。有了明确的活动要求，以及层次性极强的导学单设计，学生在课堂上合作探究时就能提高参与度。

第14篇

关键词：趣味课堂 幽默教学 数学教学

夜上海论坛 传统的教学理念是“教师教，学生学”，教师只是在填鸭式的向学生教授知识，而现代的教学理念则是“以全面提高学生的素质，培养各方面全面发展的全能型人才”的素质教育观。作为小学数学教师，则要实时转变以往的教学理念，从实际出发，注重教学中学生的主体作用，引导学生学会学，而不仅仅是传授知识。陶行知认为：“好的先生不是教书，不是教学生，乃是教学生学……”。因此，教师要改变以往重教不重学的处境，活跃课堂气氛，在愉快的课堂中让学生学会学习。著名的法国演讲家海因兹・雷曼麦也曾说：“用幽默的方式说出严肃的真理，比直截了当的提出更易让人接受。”那么教师在教学中如何调节课堂气氛，摆脱乏味的课堂氛围，让学生在娱乐中获得真知呢

一、师生平等关系融洽，亲其师，信其道

夜上海论坛 师生关系的好坏直接反映在课堂上学生对于知识的兴趣，好的师生关系则能引起学生浓厚的学习兴趣和积极的课堂表现。小学生对于教师仅仅存在喜欢和不喜欢两种情感。对于严厉、课堂内容枯燥的教师产生厌烦的心理，从而失去学习的兴趣。因此在教学中，教师应该营造一个和谐的课堂氛围，构建平等的师生关系，在此基础上将数学知识讲解给学生。小学生刚刚接触数学知识，对于诸多知识存在疑问，此时教师对于学生冒出的独特想法不要草率的否定，由于小学生自尊心比较强，因此教师一定要保护学生敢想、敢说的积极性，这对拉近师生关系能起到积极推动的作用。

夜上海论坛 例如，课前教师可以提前几分钟进入教室，参与到学生之间的游戏中，消除学生对教师产生的敬畏之心，让学生感受到教师和邻居家的大哥哥大姐姐阿姨一样平易近人容易相处。[1]

夜上海论坛 二、调节课堂气氛，激发学习兴趣

轻松幽默的课堂气氛有利于学生轻松接受知识的传递，在数学教学中，教师应该时刻发掘教材和课堂上潜在的娱乐话题，把握时机，为学生创造愉快的课堂气氛，激发学生学习的兴趣。

夜上海论坛 1、精心开讲，引发学生好奇心

托尔斯泰曾经说过“成功的教学所需要的不是强制，而是激发学生的欲望。”一堂课的成功与否，往往取决于教师在开课前几分钟的开讲，因此教师一定要精心准备这短短的开场语。用别具一格的引语来激发学生对于每堂课知识点的好奇心，让学生主动地投入学习。[2]

例如，我在教授“分数的基本性质”这一知识点时，我一上课则给学生讲了一个“哥哥姐姐妹妹分苹果”的故事：哥哥姐姐和妹妹在周末的时候去奶奶家玩，看见奶奶家有三个一样大的苹果。奶奶先将第一个苹果平均分成了4块，给了哥哥1块。姐姐看见说：“太少了，我要2块”，于是奶奶把第二个苹果平均分成了8块，给了姐姐2块。弟弟觉得自己小，想要更多，因此和奶奶说“我要3块”，于是奶奶拿出第3个苹果，平均分成了12块，给了弟弟3块。同学们，你们知道谁分的苹果多吗？没多久，学生们都异口同声道：“一样多”。我则继续追问：“你们想知道奶奶是用什么方法来满足孩子们的要求，而且又不失公平的吗？”当学生们百思不得其解时，我说“学了今天的分数基本性质，你们就了解了!”这样在学生存在好奇心的状态下自然的引入了新课，使学生对本课的学习产生浓厚的求知欲望。

夜上海论坛 2、讲授知识，动手参与，引发学生动手乐趣

有了良好的开端，趣味的课堂教学只开始了一半，还需要在讲授新知识时，让学生保持热情参与进来。在新课的教授中，由于小学生的空间感不强，此时应该多应用教具，让学生从感官上直接感受数学的奥秘。

夜上海论坛 例如，我在讲解《平行四边形的面积》这一内容时，我采用了利用教具让学生从感官上发现事物规律的方法，提高了学生学习的主动性。我对学生说：我们学过长方形的面积计算方法了，那么平行四边形的面积和长方形的面积计算有什么区别吗？这样学生的好奇心再次被调动起来。我让学生做了一个长方形，然后又做了一个相等长度和宽度的平行四边形，让他们将这两个图片同时拿在手中观察，这两个面积有什么不同。学生将两个图片同时以长边对齐，然后发现平行四边形一边比长方形少一个三角形面积，而另一边则比长方形多一个三角形面积。此时我大胆的引导学生，这两个三角面积是否相等呢？通过我的引导，学生将多出的三角形剪下来安在了另一边。此时我马上问：等边长等高的平行四边形和长方形面积有什么关系？学生则很快说出是相等关系。然后我继续引导，那么平行四边形的面积公式应该是什么？学生则自己得出平行四边形的面积公式：平行四边形面积=长*高。这一教学中，学生通过自己动手，发现图形之间存在关系，增强了学习数学的自信心，培养了学生独立观察问题和研究问题的能力，而教师只在此过程中充当引导者。

三、加强练习，巩固真知

愉快的课堂气氛对于新知识的传授起到推波助澜的作用，生动多彩的练习更是锦上添花。即使课堂上新课的知识再深刻，如果不注重练习的话，也会忘记，因此教师也不要忽视了练习的必要性。练习是检验所学知识是否全面掌握的最好工具。但枯燥乏味的练习题，让学生对于新知识也失去了兴趣。因此对于课堂练习教师同样要设计的精彩有趣。当一堂课讲解完知识点之后，课堂时间也要接近下课时间，此时可以设计一些简单的小游戏来巩固所学知识。[3]

例如，我在讲解“余数”后，临下课时我设计了一个“动脑离开教室”的游戏：以学生学号尾数为例，按照老师要求可以自由活动。然后开始说“10除以3的余数、12除以4的余数、14除以6的余数……”直到所有的学生离开教室。通过这个游戏不仅检查了教学效果，学生也能产生浓厚的兴趣。

夜上海论坛 结束语：小学数学是数学的起点，此时能否引起学生学习数学的兴趣对于将来中学数学教育起到至关重要的作用，因此数学教学应该从枯燥的数字和公式中解脱出来。作为一名小学数学教师应该在生动趣味的课堂中，不仅要传授课堂知识，更加要培养学生自主思考、自主动手、自主解决问题的能力。

参考文献：

[1] 杨庆余，《小学数学课程与教学》，高等教育出版社，2004年

第15篇

关键词： 初中数学 知识 深化理解

知识的不同层面，只有在运用过程中通过有规则的变化才能呈现出来，教学中教师在设计教案时，要充分体现知识的联系性、连续性和层次性.

一、在步步延伸中对知识深化的理解

夜上海论坛 题目的训练能起到消化概念，理解法则的作用，但孤立的单个题目，只能展示知识点某一个面，而不是全部，要使学生全面地掌握，必须出一系列有密切联系的题目组合.

夜上海论坛 如，教学直角三角形勾股数据时可这样引导与深化.

例1.如果一个三角形的两边长分别是3米和4米，则另一边的长是多少？学生回答是5米.教师接着问：这个三角形的面积是多少平方米？学生首先知道是直角三角形，两条直角边分别是3米和4米，故面积为6平方米.

变式1：下列三组数据是三角形的三条边，问哪一组数据能直接计算出三角形的面积？

（A）9、12、15 （B）4、6、7 （C）5、12、13

本题实际上是检验哪组数据符合勾股定理.

变式2：如果直角三角形的三边长分别是3、4、5，那么三边长分别为0.3、0.4、0.5和30、40、50的三角形是什么形状的三角形？通过归纳你领会到了什么？

变式3：如图1，当AB=13米，BC=12米，AD=4米，DC=3米时，求下列四边形面积.

夜上海论坛 简要分析：由三角形ADC是直角三角形求出AC的长，再根据三角形ABC三边的边长关系，得出该三角形是直角三角形，即可求出四边形的面积.

变式4：如图2，当AB=13米，BC=12米，AD=4米，DC=3米时，求下列四边形面积？

简要分析：连接AC，得出直角三角形ADC，求出AC的长.再根据三角形ABC的三边长度，不难看出其符合勾股定理这一规则，从而求出三角形ABC的面积，进而求出此四边形的面积.

图1图2

当然，还可以根据学情继续变化，使学生逐步掌握直角三角形的知识点，同时在不断变化的过程中，使学生深化对知识的理解，从而牢固地掌握、灵活地运用知识.

夜上海论坛 二、在同类比较中对知识深化的理解

夜上海论坛 数学教学中有好多科学性、规律性的结论是需要启发学生思维，使学生通过比较得出正确结论的，当然在比较过程中也有归纳和总结.在初中阶段，比较的形式出现得较多的是同类比较，为了使学生在学习中生成智慧，新教材将旧教材中一些定理和公式有意识隐去，让学生通过知识的深化去理解和总结.教师要理解新教材的先进理念，以及新教材的编写意图.

例2.方程x-2x+1=0的根为x=1，x=1，则x+x=2，x•x=1.

方程x+3x-4=0的根为x=-4，x=1，则x+x=-3，x•x=-4.

方程x-x-1=0的根为x=，x=，则x+x=1，x•x=-1.

夜上海论坛 （1）由此可得到什么猜想？你能证明你猜想的结论吗？

夜上海论坛 （2）利用（1）的结论解决下列问题：已知α、β是方程x+（m-2）x+502=0的两根，求代数式（502+mα+α）（502+mβ+β）的值.

夜上海论坛 分析：（1）观察方程的两根的和与积与方程的系数之间的关系，利用系数表示出两个根的和与积得到结论，然后利用求根公式进行证明；（2）先根据方程根的定义得出α+（m-2）α+502=0，β+（m-2）β+502=0，变形之后，再利用（1）的结论求出即可.

解：（1）猜想：若方程x+px+q=0（p、q是常数，x是未知数）有两个根x、x，则x+x=-p，x•x=q.理由如下：

方程x+px+q=0的两实根是x=，x=，

x+x=+==-p，

夜上海论坛 x•x=•==q.

（2）α、β是方程x+（m-2）x+502=0的两根，

夜上海论坛 α+（m-2）α+502=0，β+（m-2）β+502=0，

夜上海论坛 α+mα=2α-502，β+mβ=2β-502，

夜上海论坛 又由（1）知，α+β=2-m，α•β=502，

（502+mα+α）（502+mβ+β）=（502+2α-502）（502+2β-502）=4αβ=2008.

本题训练目的是通过比较对知识进行深化理解，探索一元二次方程根与系数的关系，研究总结出规律，方便于今后类似题目的解答，学生总结的是旧教材中的韦达定理.这又可以比较出教育新旧理念的根本区别在于：是教给学生知识，还是教给学生智慧.

夜上海论坛 三、在添加条件中对知识深化的理解

知识之间是互相联系的，要将知识联系得恰到好处不是一件简单的事情.数学中往往在一道简单的题目上添加一个条件就能使题目变得有价值，就能使学生有探索和研究的空间，能动地掌握所学知识.

夜上海论坛 例3.如图3所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，AE、DC的延长线相交于点F，连接AC、BF，（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）添加一个条件，使四边形ABFC是菱形，并进行说明.

夜上海论坛 分析：（1）根据点E是BC的中点即可求出BE=CE，又知AB∥CD，故可得∠1=∠2，∠3=∠4，于是证得ABE≌FCE，进一步得到AB=CF，结合梯形的知识即可证得四边形ABFC是平行四边形；（2）该问答案不唯一，添加条件可为：AC=CF或AF平分∠BAC或AEBC，根据菱形的判定定理即可证得四边形ABFC是菱形.

证明：（1）点E是BC的中点，BE=CE，又AB∥CD，

∠1=∠2，∠3=∠4，ABE≌FCE，AB=CF.

夜上海论坛 又梯形ABCD中AB∥CD，四边形ABFC是平行四边形．

（2）添加条件（不唯一）可为：AC=CF.

由（1）可知：四边形ABFC是平行四边形，

AC=AB，平行四边形ABFC是菱形.