三角函数值规律范文

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第1篇

夜上海论坛 关键词：三角变换；诱导公式；倍角公式

三角变换是高中数学的重要内容，是历年高考的必考内容，但也是学生们比较头疼的地方，总结起来原因有二。第一，三角公式繁多，记忆时容易出错；第二，即使公式都记住了，用公式解题时不知道该用哪一个公式。本文就针对学生学习时容易出现的问题，探讨怎样巧记活用三角公式进行三角变换。

一、把握公式规律，巧记公式

对三角公式的准确、熟练记忆是进行三角变换的前提，但是三角公式繁多：同角三角函数的基本关系式（8个）、诱导公式（36个）、两角和与差的三角函数公式（6个）、二倍角公式（5个），再加上各组公式的变形，总共有60多个公式。如何才能保证记忆时不出现错误呢？这就要求学生在记忆时不要死记硬背，而是要把握其中的规律，巧记公式。下面，介绍各组公式的记忆方法。

夜上海论坛 1. 同角三角函数的基本关系式

这组公式常称“三类八式”，即这八个公式分为三大类：平方关系、商数关系和倒数关系。八个公式可画一个六边形来记忆。

记法：①在最长对角线上的两个三角函数的乘积为1。如：tanα・cotα=1；②在3个倒三角形中，上面两个顶点的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方（中心点为1）。如：tan2α+1=sec2α；③任意一顶点上的三角函数值等于与之相邻的两个顶点的三角函数值的乘积。如：sinα=tanα・cosα.

2. 诱导公式

诱导公式看似很多，其实可以概括为一句口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。诱导公式左边的角可统一写成k・±α(k∈Z)的形式，当为奇数时，等号右边的三角函数名称与左边的三角函数名称正余互变，当k为偶数时，等号右边的三角函数名称与左边一样；而公式右边的三角函数之前的符号，则把α当做锐角，k・±α为第几象限，以及左边的三角函数之前的符号即为公式右边的符号。

3. 两角和与差的三角函数公式

这6个公式可分为三组，故可分为三组来记忆。每一组的特征都很明显：两角和（差）的余弦：余余、正正、符号异；两角和（差）的正弦：正余、余正、符号同；两角和（差）的正切：分子同，分母异。

4. 二倍角公式

夜上海论坛 其实，二倍角公式是两角和的三角函数公式当两角相等时的特殊情况。把握住这点，记住两角和的三角函数公式，二倍角公式自然就记住了。有规律有方法地巧记公式，有事半功倍的效果。

二、总结题型规律，活用公式

记 住了三角公式，如果不了解三角变换的提醒规律，也很难去用公式解题。三角变换题目虽然很多，但是也是有规律可循的，大致可以分为以下几类。

1. 角的变换

夜上海论坛 进行角的变换常用的公式有诱导公式、两角和（差）公式和二倍角公式。因此，题目当中需要化角时就要想到用这些公式，而不是往别的公式上去套。例1：已知α、β为锐角，且sinα=，cos(α+β)=-，求sinβ的值。解析：此题就需要用到角的变换β=(α+β)-α，然后两边取正弦，右边用两角差的正弦公式展开即可。

2. 函数名称的变换

一般是切割化弦或弦化切割，常用公式为同角三角关系式中的倒数关系式和商数关系式。例2：已知tanα=3，求的值。解析：已知正切的值，求关于正余弦的值，很显然只能采用公式tanα=。

3. 常数变换

夜上海论坛 在三角变换中，有时需要将常数化为三角函数值，比较常见的是“1的变换”，常见的变形有1=sin2α+cos2α=sec2α-tan2α=cot2α-

sos2α。例3: 若2k?仔-≤α≤2k?仔+(k∈Z)，则+的化简结果为( )。解析：巧用常数1的变换：1=sin2α+cos2α，则1-2sinαcosα= sin2α+cos2α-2sinαcosα=(sinα-cosα)2，同理，1+2sinαcosα=(sinα+cosα)2，再结合角的范围开方即可。

4. 幂的变换

降幂是三角函数变换时常用的方法，对次数较高的三角函数公式一般采用降幂处理方法，常用的降幂公式有：二倍角公式的逆用和同角三角函数平方关系式，降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式常用升幂处理变成有理式。例4：化简cos8x-sin8x+ sin2x・sin4x。解析：本题中三角函数的次数较高，需要从降幂入手进行化简，先后用到平方差公式，二倍角公式和sin2α+cos2α =1。

夜上海论坛 总之，三角变换题目比较灵活，其解法也千变万化，没有固定的、唯一的解法。所以，在解题时，应根据题目的特点确定解题方法和变换技巧，再选择有关公式，千万不能对公式生搬硬套。如果在学习过程中多归纳、多总结，注意分析题目的结构及发现其规律，则可以结合所学的知识迎刃而解了。

参考文献：

夜上海论坛 [1]王红霞.三角恒等变换的常用方法与技巧[J].新高考,2010(2).

第2篇

1. 概念理解不透彻

例1 在RtABC中，各边的长度都扩大3倍，那么锐角A的三角函数值（ ）.

夜上海论坛 A. 都扩大3倍 B. 都扩大4倍

夜上海论坛 C. 不能确定 D. 没有变化

【错解】A.

【分析】三角形三边都扩大3倍后的三角形与原三角形相似，所以直角边与斜边或直角边与直角边的比值不变. 错解没有真正理解三角函数的概念.

【正解】D. 三角函数的值是直角边与斜边或直角边与直角边的比值，大小只与角的度数有关，与边的大小无关.

2. 忽视求三角函数的限制条件

例2 （2012・江西内江）如图1，ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）.

A. B.

C. D.

夜上海论坛 【分析】在本题的解答过程中，根据sinA=，部分同学会错误地得出sinA=，导致结果与选项不符，要么随便选一个，降低了正确率，要么开始重新审题，浪费了宝贵的考试时间. 这个错误的根源在于没有真正理解正弦的概念，没有掌握锐角三角函数的使用条件：在直角三角形中. 因此本题需先寻找∠A所在的直角三角形，而图中∠A所在的ABC并不是直角三角形，这就需要添加辅助线，构造直角三角形. 如图1，连接CD，得到CDAB，sinA===.

在斜三角形中求三角函数值时往往需要作高（形内或者形外）构造直角三角形.

3. 忽视分类讨论

例3 RtABC的两条边分别是6和8，求其最小角的正弦值.

夜上海论坛 【错解】6和8是直角三角形的两边，斜边是10，最小角的正弦值是.

【分析】已知条件中并没有指明6和8是两条直角边，所以本题应分两种情况：

（1） 6和8是两条直角边；

夜上海论坛 （2） 6是直角边，8是斜边.

很多同学错在忽视了第2种情况.

【正解】当6和8是两条直角边时，斜边是10，所以最小角的正弦值是.

夜上海论坛 当6是直角边，8是斜边时，则另一直角边是=2，所以最小角的正弦值是=. 综上可知，最小角的正弦值是或.

4. 忽视锐角三角函数的范围

例4 已知α为锐角，4tan2α-3=0，求tanα.

夜上海论坛 【错解】4tan2α-3=0，tan2α=，

tanα=±.

【分析】锐角三角函数值等于相应直角三角形的边的比，所以tanα>0.

【正解】4tan2α-3=0，tan2α=，tanα=

±. tanα>0，tanα=.

夜上海论坛 锐角三角函数值都是正数，在求解时不能忘记.

5. 混淆特殊角三角函数值的变化规律

例5 锐角α满足

A. 30°

C. 45°

【错解】A.

夜上海论坛 【分析】正弦值与正切值都随锐角度数的增大而增大，而余弦值是随锐角度数的增大而减小. 本题错在没有准确掌握特殊角的三角函数，将特殊角的三角函数值张冠李戴，混淆了锐角的正弦值、余弦值的变化规律.

夜上海论坛 【正解】cos60°=，cos45°=，又余弦值随锐角度数的增大而减小，cos60°

在锐角范围内，正弦与正切可以看成是单调递增函数，即度数大三角函数值就大；而余弦正好相反.

6. 主观臆断

例6 在RtABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，则sin=______.

【错解】sinA===，

sin=.

【分析】本题错在将∠A的一半的正弦值看作是∠A的正弦的一半，两者显然不等. 如sin60°=，而sin30°=. 本题正确的解法是先求出∠A的度数，然后再求其正弦值.

【正解】sinA===，

∠A=60°，∠A=30°. sin=.

求一个角一半的三角函数值，应先求出这个角的度数，然后再求其三角函数值，一定不能用三角函数值的一半作为角的一半的三角函数值.

第3篇

【关键词】 恒等变换 给值求值 给角求值 给值求角 综合运用

夜上海论坛 【中图分类号】G424 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)06(a)-0143-02

夜上海论坛 三角恒等变换是高考的重点之一,要求掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式;高考对本部分内容的考点:一方面是简单的化简、求值,以客观题为主,难度一般不大,有时以向量为载体出现解答题;另一方面本节内容常作为数学工具常融合三角函数,这时要先对三角函数解析式进行化简、变形,再深入考查三角函数的图像和性质。还需说明一点的是“几个三角恒等式”及积化和差、和差化积公式和半角公式不要求记忆和运用,已经淡出高考范围。本文现从江苏和全国其他各省近几年的高考试卷中精选出一些典型考题与大家一起研讨高考中这部分内容的命题方向和考查方向,希望能起到一个抛砖引玉的效果。

1 高考命题热点一:给值求值问题。

【真题再现1】(2011年全国卷理科第14题)已知,,则

【解析】本题考查了同角三角函数的基本关系式与二倍角的正切公式的运用。

由已知得,则,所以。

夜上海论坛 规律小结:对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数值求另外一些角的三角函数值,关键在于变角,使目标角变换成已知角,若角所在的象限没有确定则应分情况讨论,应注意这部分内容中公式的正用、逆用、变形利用,同时根据题目的结构特征,学会拆角、拼角等技巧,

如,等。

2 高考命题热点二:给角求值问题。

【真题再现2】(2006年江苏卷第14题)

【解析】本题考查了切割化弦、辅助角公式

,倍角正弦公式、降幂公式。原式

=

=

=。

夜上海论坛 规律小结:给角求值问题,一般给出的角都是非特殊角,从表面来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系。解题时要利用观察得到的关系,结合三角公式转化为特殊角并且消去非特殊角的三角函数而得到解,有时还要逆用、变用公式,同时结合辅助角公式和升幂、降幂公式等技巧。

3 高考命题热点三:给值求角问题。

【真题再现3】(2008年江苏卷第15题)如图,在平面直角坐标系中,以轴为始边做两个锐角,,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为。(1)求的值;(2)求的值。

【解析】本题融合三角函数的定义,考查两角和的正切公式、二倍角的正切公式。由条件得,因为,为锐角,所以=,因此

(1),

(2),所以,因,为锐角则,故=

夜上海论坛 规律小结:给值求角问题,往往通过间接求出这个角的某个三角函数值,再得出这个角的大小,选取某个三角函数值时可按照下列原则:一般已知是角的正切函数值,则选所求角的正切函数值;已知条件是正弦、余弦函数值,则选所求角的正弦、余弦函数值皆可;若所求角的范围是,则选该角的正弦函数值较好;若所求角的范围是,则选该角的余弦函数值较好。解决给值求角问题分三步:第一步是求该角的某个三角函数值,第二步是确定该角所在的范围,第三步是根据角的范围写出所求的角。

夜上海论坛 4 高考命题热点四:三角恒等变换与其他数学知识的综合运用问题。

【真题再现4】(2011年重庆卷第16题)设,

,满足,求函数在上的最大值和最小值。

【解析】本题考查融合了三角函数的单调性和最值的性质,考查诱导公式、二倍角的正弦公式、降幂公式、公式

,又考查综合分析问题和解决问题的能力。由已知 ,由得,因此

;由及,解得增区间;由及,解得减区间,所以函数在上的最大值是;又因,则函数在上的最小值为。

夜上海论坛 【真题再现5】(2009年江苏卷第15题)设向量

,,。

(1)若与垂直,求的值;

夜上海论坛 (2)求的最大值;(3)若,求证:∥。

【解析】 本题主要考查融合向量的基本概念与向量平行,考查同角三角函数的基本关系式、

二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力、综合分析问题和解

决问题的能力。

夜上海论坛 (1)由与垂直,,即

,。

(2)4,

夜上海论坛 ,则的最大值是。

(3)由得,即,所以∥。

夜上海论坛 规律小结:三角恒等变换与其他数学知识的综合运用,大多以解答题的形式出现,它一方面融合平面向量知识考查化简、求值、证明恒等式,学生必须掌握好平面向量知识特别是数量积的运算才能顺利解答问题;另一方面三角恒等变换为数学解题工具,它往往融合三角函数考查三角函数的图像和性质(如周期性、单调性、值域、最值等),这类题突破的关键是能正确快速地对三角函数进行化简,化简的技巧和原则:①采用遇平方降幂的方法使式子的次数尽量低;②采用辅助角公式、切弦互化使式子的函数种类尽量少;③采用已知角表示未知角使式子的角的种类尽量少;④采用通分等变形技巧使式子结构尽量简单,同时还要注意角的范围及三角函数的正负。随着知识的深入还会更多的接触到三角恒等变换与解三角形(正弦、余弦定理)融合的题型。

5 高考的考查特点分析和方向预测。

上面就一些高考中的三角恒等变换知识进行了深入的分析,通观全国各省对三角恒等变换的考查,我们发现有以下特点:

(1)分文理科的地区,两科对三角恒等变换均有考查;文理试题的题目基本相同,难度区分不大。

夜上海论坛 (2)区分度问题:三角恒等变换部分不会出非常难的题目,一般都是以容易题、中档题出现。

（3）题型方面:全国各省在选择题和填空题中都有所考查,更侧重填空题;在解答题中考查但难度不大;全国各省高考大多数都是考一道填空题容易题和一道解答形式的中档题。